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Il totiente di Jordan e' una generalizzazione di quello di Eulero:

$ $J_k(n) = n^k \prod_{p|n} (1-p^{-k})$ $

Dimostrare che:
1. $ $J_k(n) = \mu * N^k(n)$ $ .
2. $ $J_k * u(n) = N^k(n)$ $ (segue banalmente dal punto 1..).

Calcolare $ $(J_k)_p$ $, la serie di Bell del totiente di Jordan modulo $ $p$ $.

PS: $ $\mu, N^k$ $ sono la funzione di Moebius e la funzione potenza (k-esima); $ $u$ $ e' la funzione unitaria (costantemente uguale a 1). $ $*$ $ e' la convoluzione di Dirichlet.

Buon divertimento!

Uhm, magari qualcuno risponderebbe ai tuoi problemi se ti prendessi la briga di definire cose come "la serie di Bell", che non necessariamente tutti conoscono....

Comunque:

$ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d)f(d)=\prod_{p|n} (1-f(p)) $

per ogni f moltiplicativa non identicamente nulla. (p nella produttoria prende solo i primi).

Dimostrazione:

Sia $ \displaystyle m=\prod_{p|n} p $

Allora:

$ \displaystyle\sum_{d|n} \mu (d) f(d)=\sum_{d|m} \mu (d) f(d)=\prod_{p|m} (1-f(p))= \prod_{p|n} (1-f(p)) $

Ponendo $ f(n)=n^{-k} $ segue 1., da cui facilmente 2.

Ovviamente e` corretto.
Io conosco questa dimostrazione per quell'identita`:

Sia $ $g(n) := (\mu \cdot f) * u$ $, dove $ $f$ $ e` moltiplicativa e $ $u \equiv 1$ $. Allora anche $ $g$ $ e` moltiplicativa, essendo la convoluzione di funzioni moltiplicative, e quindi basta studiarne il comportamento per le potenze di primi. $ $g(p^\alpha) = \mu(1) \cdot f(1) + \mu(p) \cdot f(p) = 1 - f(p)$ $, da cui segue la relazione residerata.

La serie di Bell modulo $ $p$ $ di una funzione $ $f(n)$ $ e` definita come
$ $f_p(x) = \sum_{i=0}^{\infty} f(p^i)x^i$ $. Per trovare la serie di Bell di una funzione puoi calcolarla normalmente o ricorrere al teorema che dice che se $ $h = f * g$ $, allora $ $h_p = f_p \cdot g_p$ $.