OliForum Matematico

$ y^2=x^5-4 $
trovare tutte le coppie di interi x,y possibili

p.s. trovare la dimostrazione più corta possibile

Imbianco così uno che butta l'occhio non legge Modulo 11 le quinte potenze sono solo 1,0,-1 ma 6,7 e 8 non sono residui quadratici

Guarda che non li ho provati tutti, anzi solo quello

g(n) ha scritto:Imbianco così uno che butta l'occhio non legge Modulo 11 le quinte potenze sono solo 1,0,-1 ma 6,7 e 8 non sono residui quadratici

anche a me era venuto in mente quello solo che non saprei spiegarne il perchè.
cioè mi era venuto in mente perchè avevo visto già esempi simili. in quei casi avevano dato delle spiegazioni ma non erano chiare.
quindi domando(in bianco): il fatto di considerare modulo 11 deriva dal teorema cinese del resto e inseguito anche dal piccolo teorema di Fermat?

Quindi? Perchè proprio modulo 11?

ah ho capito:
i residui quadratici sono sempre la metà.
bisogna trovare un modulo p opportuno tale che le potenze quinte dei residui modulo p siano poche. così anche la verifica di eventuali congruenze tra residuei quadratici e potenze quinte è più semplice.
per fare ciò bisogna che il M.C.D. tra (p-1, 5) sia il maggiore
in questo caso è 5.
quindi 5|p-1
segue che il minore numero primo p che soddisfa tali condizioni è 11.

Scusate il ritardo, ma ero a Riccione

Comunque sì, l'idea è quella di far sì che le quinte potenze si riducano a pochi residui. In particolare tutte le quinte potenze sono congrue a 1 se $ p-1|5 $. Questo però è impossibile, e allora ci si 'accontenta' che 5 divida $ p-1 $, ed in particolare scegliamo il $ p $ più piccolo possibile, perchè più grande è $ p $ più residui si hanno.
Spesso per scegliere il modulo opportuno è utile guardare gli esponenti e vedere se sono multipli o divisori della phi di qualche numero