Diofantea non difficile

[Fedecart]

Trovare tutte le soluzioni naturali di

$ 7^x-4^y=3 $

Non è difficile quindi lasciatela a chi ha appena iniziato TdN! =)
Buon Lavoro

[matteo16]

Trovare tutte le soluzioni naturali di

$ 7^x+4^y=3 $

Non è difficile quindi lasciatela a chi ha appena iniziato TdN! =)
Buon Lavoro

ma sei sicuro che il testo sia quello? magari non chiede sugli interi o i razionali?
perchè se x e y devono essere naturali non c'è nessun x e nessun y tali che quella quantità dia 3

[Fedecart]

Ops sbagliato il testo!! Correggo subito!! Scusate

[String]

Riscrivo l'equazione così : $ 7^x-3=4^y $. Se $ y>1 $ allora :$ 7^x-3 \equiv 0\pmod {16} $ ma le potenze di 7 sono o $ \equiv 7\pmod {16} $ o $ \equiv 1\pmod {16} $. Perciò il primo membro non sarà mai divisibile per 16 e quindi l'unica soluzione si ha per $ x=y=1 $

[matteo16]

si può fare anche modulo 8

[Fedecart]

Esatto... Esce con qualsiasi modulo multiplo di 4 o di 7...

[salva90]

probabilmente uscirebbe anche mod altre robe, ma 8 è il più comodo perchè, guarda caso, 7 vale -1, e una potenza di 7 può fare ben poche robe...

[ico1989]

le potenze di 7 sono o $ \equiv 7\pmod {16} $ o $ \equiv 1\pmod {16} $

Come si può dirlo?

[Pigkappa]

A questo punto rendiamola un po' più calcolosa e facciamo:

$ \displaystyle 7^x - 4^y = 17 $

Che me ne ricorda molto un'altra vista quest'anno

[julio14]

le potenze di 7 sono o $ \equiv 7\pmod {16} $ o $ \equiv 1\pmod {16} $

Come si può dirlo?

$ $7^{2n}\equiv(7^2)^n\equiv(1)^n\equiv1\pmod{16}\rightarrow7^{2n+1}\equiv7\pmod{16} $

[Desh]

le potenze di 7 sono o $ \equiv 7\pmod {16} $ o $ \equiv 1\pmod {16} $

Come si può dirlo?

$ $ 7 \equiv -1 \pmod{8} $
$ $ 7^n \equiv (-1)^n \equiv \pm 1 \pmod{8} $

(analogo al modulo 16, ma con l'8 la scrittura è più carina )

[ico1989]

Ok, grazie mille a julio14 e Desh

[String]

A questo punto rendiamola un po' più calcolosa e facciamo:

$ \displaystyle 7^x - 4^y = 17 $

Che me ne ricorda molto un'altra vista quest'anno

Modulo 18 le potenze di 7 sono congrue solo a 7,13,1. Le potenze di 4 invece sono congrue solo a 4,-2,-8. Nessuna di queste combinazioni però è $ \equiv -1\pmod {18} $ pertanto nessun valore di x e y soddisfa l'equazione...

[Fedecart]

Stesso identico ragionamento che ho fatto io... Ma una volta tanto che ne risolvo uno postato da voi qualcuno mi precede... =(

[Pigkappa]

A questo punto rendiamola un po' più calcolosa e facciamo:

$ \displaystyle 7^x - 4^y = 17 $

Che me ne ricorda molto un'altra vista quest'anno

Modulo 18 le potenze di 7 sono congrue solo a 7,13,1. Le potenze di 4 invece sono congrue solo a 4,-2,-8. Nessuna di queste combinazioni però è $ \equiv -1\pmod {18} $ pertanto nessun valore di x e y soddisfa l'equazione...

Sì, ma perdinci, volevo che venisse fuori qualcosa di istruttivo. Allora vediamo

$ \displaystyle 7^x - 4^y = 33 $

Questa con le congruenze mi auguro che non venga...