SNS 2004-2005 es. 4 (Piramide di Erodoto)

[gattovince]

Posto un altro problema della SNS.
(Poi provo anche a scrivere la soluzione ma mi ci vorrà parecchio perche sono lentissimo con LateX).

Secondo Erodoto l’erezione della piramide di Kufu a Giza richiese
100.000 uomini. Possiamo a nostra volta cercare di stimare questo numero
presumendo che gli uomini usassero solo la loro forza muscolare e
considerando che un uomo può svolgere circa 2.5 · 105 J di lavoro utile
al giorno. In questa ipotesi quanti uomini sono necessari in un anno solo
per sollevare alloro posto le pietre della piramide alta 147 m e con una
base quadrata di 230 m di lato? Le pietre hanno densità di 2.7 g/cm3.

Ciao!!

[Riccardo_ct]

Ho provato ad inquadrare il problema ma non so se è giusto...
per calcolare il numero di persone necessarie per erigere la piramide si dovrebbe trovare l'energia potenziale totale della piramide rispetto al terreno sul quale è posta. Se non ricordo male il centro il massa della piramide è posto ad un quarto dell'altezza perciò da qui ricavi il lavoro totale da compiere, sennò si dovrebbe calcolare il lavoro per portare ad una certa altezza un quadratino infinitesimo di piramide, di quella determinata densità, e poi integrare da 0 ad h.

[Alex90]

Ci avevo pensato su ma purtroppo la parte in cui si dovrebbe integrare va oltre le mie attualità abilità comunque se l'idea di Riccardo è giusta allora lo svolgo così:

$ \displaystyle L = F \cdot s = P \cdot \frac{1}{4}h $
$ \displaystyle m = V \cdot \rho = \frac{1}{3} l^2 \cdot h \cdot \rho $

Siano $ E $ l'energia che può sviluppare un uomo in un giorno e $ n_{giorni} $ i giorni in un anno allora:

$ \displaystyle n_{uomini} = \frac{\frac{1}{3} l^2 \cdot h \cdot \rho \cdot g \cdot \frac{1}{4}h}{E \cdot n_{giorni}}=\frac{\frac{1}{3} 230^2 \cdot 147 \cdot 2700 \cdot 9.81 \cdot \frac{1}{4}147}{2.5 \cdot 10^5 \cdot 365} $$ \approx 27651 $

[oli89]

il risultato è corretto. Ovviamente ci sarebbe da dimostrare l'affermazione di Riccardo sull'altezza del baricentro della piramide, che è proprio h/4 con un semplice integrale...

ciao

[Riccardo_ct]

Posizione del centro di massa sulla verticale: $ y_{CM}=\frac{\displaystyle\int y dm}{\displaystyle \int dm} $
dove l'elemento di massa $ dm $ al numeratore vale: $ dm=\rho S(y) dy $
inoltre $ S(y)=4b^2(1-\frac{y}{h})^2 $, sostituendo tutto si integra da 0 ad h,
penso si dovrebbe fare così