Pelo libero dell'acqua

[ico1989]

Vorrei proporre questo problema, così da chiarirmi una volta per tutte la dinamica del pelo libero di un liquido

Un recipiente, a forma di parallelepipedo a base quadrata di lato l = 60 cm, poggia su di un piano orizzontale e presenta su di una parete laterale un foro il cui punto più basso si trova ad un’altezza h = 20 cm dalla base. Otturando momentaneamente il foro, il recipiente viene riempito di acqua fino ad un’altezza d = 30 cm e viene posto in moto rettilineo con accelerazione a costante. Sapendo che anche in tale situazione il pelo libero dell’acqua si mantiene ancora piano, determinare:
a) la configurazione del pelo libero in funzione dell’accelerazione a impressa;
b) la pressione dell’acqua all’altezza del foro (sempre in funzione di a);
c) il valore minimo dell’accelerazione del recipiente, amin, necessaria affinché, stappato il foro, l’acqua non ne fuoriesca.

[Alex90]

Ci provo

b e c) Per la legge di Stevino la pressione interna è $ \displaystyle P=\rho \cdot g \cdot h $, mentre quella esterna è $ \displaystyle p = \frac{F}{A} $ dove A è l'area del foro, affinchè l'acqua non fuoriesca è necessario che $ \displaystyle p_e \ge p_i $

$ \displaystyle \rho \cdot g \cdot h = \frac{F}{A} = \frac{m \cdot a}{A} = \frac{\rho \cdot V \cdot a}{A} $

Il volume è l'area del foro per la lunghezza del lato della base del parallelepipedo, cioè $ \displaystyle V= A \cdot l $

$ \displaystyle \rho \cdot g \cdot h = \frac{\rho \cdot A \cdot l \cdot a}{A} \Rightarrow a=\frac{g \cdot h}{l}=\frac{9.81 \cdot 10}{60}=1.64 m/s^2 $

La pressione risultante all'altezza del foro è $ \displaystyle p_i - p_e= \rho \cdot g \cdot h - \rho \cdot l \cdot a = \rho (g \cdot h - l \cdot a) $

[iactor]

Parti dal punto a
l'idea fondamentale per risolverlo è che nel sistema di riferimento della scvatola ogni particella del sistema è sottoposta ad una forza di modulo mg verso il basso a causa della gravità e ad una forza apparente di modulo ma diretta in direzione opposta al moto.
Tutto va come se ci fosse una gravità efficace dimodulo =radice(g^2+a^2) inclinata di un angolo theta = arcotangente (a/g) rispetto alla verticale.
Il pelo libero si inclina fino ad essere perpendicolare a tale vettore (angolo theta con l'orizzontale) e con il centro della superficie nello stesso posto dato che il volume di acqua si conserva.
La pressione all'altezza del foro la trovi con la legge di stevino considerando che il peso specifico aumenta da rho*g a rho*g efficace e devi misurare la profondità perpendicolarmente alla superficie del fluido (un po'di trigonometria facile).
Per non fare uscire l'acqua non devi far altro che far stare la superficie sotto il suo punto più basso.
Ciao

[ico1989]

Forse mi sbaglierò, ma mi sembra che tu abbia fatto un pò di confusione. Cioè non si capisce bene a cosa si riferiscano $ $m, V, \rho$ $.

Per la legge di Stevino la pressione dell'acqua all'altezza del foro è : $ $p = p_{atm} + \rho g(d' - h)$ $, dove d' è l'altezza del livello dell'acqua durante il moto e p-atm è la pressione dell'aria sull'acqua.
La pressione esterna sul foro da parte dell'aria è ancora p-atm essendo che sia dentro e sopra il contenitore sia ai lati del contenitore l'aria si muove con la stessa accelerazione -a nei confronti del contenitore.
Dunque $ $p_{atm} + \rho g(d' - h) > p_{atm}$ $ sempre, e non è quella che tu dici la causa del fatto che l'acqua non esce dal contenitore (anch'io prima credevo così).

Secondo me il fatto è che quando è in moto il contenitore, il livello dell'acqua nei pressi del foro non è d ma d' < d poichè la superficie s'inclina in modo dipendente da a. E si chiede, sempre secondo me, per quale valore a il livello nei pressi del foro è <= h.

Sempre secondo me, però

[ico1989]

con il centro della superficie nello stesso posto dato che il volume di acqua si conserva.

Me lo puoi formalizzare? Io ho considerato l'eguaglianza dei volumi ma senza prendere in esame il centro della superficie.

considerando che il peso specifico aumenta da rho*g a rho*g efficace e devi misurare la profondità perpendicolarmente alla superficie del fluido (un po'di trigonometria facile).

La butto qui: non si può misurare la profondità normalmente e considerare g?

[ico1989]

Anche perchè il fatto che ogni particella venga accelerata orizzontalmente, non influisce sulla dinamica di quelle che stanno sotto di essa, quindi non contribuisce alla pressione. O mi sbaglio?