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Il titolo dice tutto, quindi se lo risolvete in un secondo nella vostra mente, dato che è davvero semplice come quesito, non rispondete ma lasciatelo agli altri!

Nella classe di Gianni ci sono 10 persone, contando anche lui. Ogni volta che Gianni esce con un gruppo di amici, ognuno di loro gli da un euro. Quanti soldi si sarà fatto Gianni una volta che sarà uscito con ogni possibile gruppo diverso di amici?

Zero! Perché Gianni deve comprare il gelato a tutti con i soldi ricevuti!

Risposta esatta! Anzì, ci perde anche perchè con l'aumento dei prezzi da quando è arrivato l'euro non ci scappa nemmeno un gelato a testa con quei soldi!!

$ $ \sum_{i=1}^{9}i {9 \choose i}$ $, esatto?

Gianni può uscire con 1 amico, 2 amici...fino a 9 amici

Quando esce con un amico lo può fare in $ \displaystyle {9 \choose 1} $ e prende ogni volta 1 euro, quando esce con 2 amici i modi sono $ \displaystyle {9 \choose 2} $ e prende 2 euro

Quindi Gianni al massimo potrà fare

$ \displaystyle \sum_{n=1}^9 n \cdot {9 \choose n} $

$ \displaystyle 1 \cdot {9 \choose 1} + 2 \cdot {9 \choose 2} + ... + 9 \cdot {9 \choose 9} = $

edit: preceduto causa cena

Era uno dei problemi (anzi, l'ultimo) dei Giochi di Archimede 2007 !

Fedecart ha scritto:Nella classe di Gianni ci sono 10 persone

quanti sono anche amici di Gianni? e quanti amici non sono in classe con lui?

Desh ha scritto:

Fedecart ha scritto:Nella classe di Gianni ci sono 10 persone

quanti sono anche amici di Gianni? e quanti amici non sono in classe con lui?

Beh mi sembra logico che intendesse che tutti i suoi compagni di classe fossero suoi amici . Altrimenti il problema andava a farsi benedire ...

l'unico problema è che fare in gara un calcolo così è difficilotto... se non altro porta via tempo.
Così è più breve: quante volte Gianni esce con un determinato amico? Tante quante sono i possibili gruppi di altri amici, quindi 2^8=256, per 9 amici, 2304. (con un programmino mi viene lo stesso risultato per la sommatoria)

sicuro?

$ $k \binom{n}{k}=\frac{kn!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}= $$ $ \frac{n(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}=n \binom{n-1}{k-1} $
con $ $k\neq 0 $

Bella intuizione

$ $ \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k}= \sum_{k=1}^{n}n \binom{n-1}{k-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} = n \cdot 2^{n-1} = 9 \cdot 2^{8}.$ $

julio14 ha scritto:Così è più breve: quante volte Gianni esce con un determinato amico? Tante quante sono i possibili gruppi di altri amici, quindi 2^8=256, per 9 amici, 2304

Non ho capito bene questo, me lo puoi spiegare?

ogni amico gli da 1 euro quando esce con lui. Puoi calcolare allora quante volte esce con un dato amico (poi moltiplichi per il numero di amici e hai il conto totale).
In pratica e' da contare quanti sono i gruppi in cui compare quel dato amico, che equivale al numero di tutti i sotto gruppi (compreso quello nullo) di altri amici: vedi chi sono gli altri oltre a lui e poi ci aggiungi lui. Tale numero e' pari alla cardinalita' dell'insieme delle parti dell'insieme degli amici meno il tipo.

ico1989 ha scritto:Bella intuizione

$ $ \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k}= \sum_{k=1}^{n}n \binom{n-1}{k-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} = n \cdot 2^{n-1} = 9 \cdot 2^{8}.$ $

Esatto, io in gara ho usato questa formula ! Altrimenti a stare a contare tutto non finivi più (e già io sono abbastanza lento nei conti ).

Io ho semplicemente considerato il fatto che dobbiamo calcolare l'insieme delle parti del gruppo di amici, $ A = {1,2,3...9} $ che è ovviamente uguale a $ 2^{|A|} $.
In questo modo otteniamo tutte le combinazioni possibili.
E' verificato anche seguendo il binomio di Newton, calcolando:
$ $ 2^9=(1+1)^9 = \sum_{i=0}^{9}\binom{9}{i}=\binom{9}{0}+\binom{9}{1}+\dots+\binom{9}{9}$ $
E poi ho moltiplicato ogni binomiale per i...abbastanza lungo ma fattibile.