Angoli

[karl]

Si tratta di uno dei tanti problemi sugli angoli di un triangolo,facilmente risolubile per via trigonometrica.Tuttavia questa volta non sono riuscito a trovare una soluzione sintetica.Vedete un po' voi...
Nel triangolo ABC il punto P ,ad esso interno, "vede" i lati AB e AC sotto angoli ampi 110° e 100° rispettivamente ( come indicato in figura).Inoltre risulta :$ \displaystyle \angle PBA=40°,\angle PBC=10° $.Provare che ABC è isoscele.
karl

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Chiamiamo O il circocentro di $ \triangle BPC $ quindi $ \angle BOP = 2 \angle PCB = 40^\circ $ quindi $ \angle BPO = 70^\circ = 180 - \angle BPA $, ovvero A,P,O sono allineati. Essendo $ \angle BOC = 60^\circ $ il triangolo BOC è equilatero. La retta simmetrica di BP rispetto a BC incontra il circocerchio di BPC in Q. Chiamiamo $ H: BQ \cap AO $, allora $ \angle BHA = 180 - 30 - 40 -10 -10 = 90^\circ $ ma $ AB = 2 \cdot BH = BQ $ e quindi il triangolo AQB è equilatero. Ma allora i due triangoli BOQ e ABC sono congruenti (il primo va nel secondo con una rotazione di centro B e angolo 60°) ovvero $ \angle BAC = \angle BQO = \angle QBO = \angle ABC = 50^\circ $

[karl]

Mi fido completamente di Gabriel !!! Cari amici,non vi resta che divertirvi con la soluzione trigonometrica ( che pure ha spunti...interessanti )
karl