Esercizio Cortona 98

[^...Christian...^]

Determinare tutti i numeri interi $ n $ tali che $ n^4 +4 $ sia un numero primo.

Vi prego spiegatevi in modo semplice...

[Stoppa2006]

Prova a scriverlo come:
$ n^4+4=n^4+4+4n^2-4n^2=(n^2+2)^2-4n^2 $$ =(n^2+2n+2)(n^2-2n+2) $

[^...Christian...^]

Ehm.. A questo punto che dovrei fare..??;)
$ 1 $ è sicuramente soluzione a questo punto.. Ma come faccio ad escludere altre soluzioni...??

[julio14]

Un numero primo quanti fattori diversi da 1 ha? Quindi quanti fattori diversi da 1 deve avere $ n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2) $?

[Fedecart]

Un numero primo ha come unici divisori 1 e se stesso per definizione.
Quindi tu hai $ (n^2+2n+2)(n^2-2n+2) $ che è un prodotto, esattamente uguale a $ 1*p $ dove p è il tuo primo. Allora uno dei tuoi fattori dev'essere uguale a 1! Quale? Che te ne importa, o l'uno o l'altro, provali entrambi.
Hai due equazioni di secondo grado $ (n^2+2n+2)=1 $ ed $ (n^2-2n+2)=1 $ risolvile entrambe. Le soluzioni intere che trovi saranno le tue soluzioni. Poi se vuoi fai la prova che non fa mai male

[^...Christian...^]

Mi hai illuminato..
Dato che $ (n^2+2n+2) $ è sempre maggiore di uno le soluzioni del problema sono solo quelle che soddisfano l'equazione

$ (n^2-2n+2)=1 $ ovvero

$ {(n-1)}^2=0 $

cioè 1!!!

Grazie mille!!!

[Stoppa2006]

Per essere pignoli devi verificare anche che l'altro fattore sia un primo... Potrebbe capitare (non in questo caso) che l'altro sia composto e quindi che nn ci siano soluzioni.
E comunque il testo dice che $ n $ è intero quindi devi verificare anche le uguaglianze con -1...

[julio14]

beh essendo $ n^4 $ un quadrato puoi assumere n positivo e poi alla fine aggiungere gli opposti delle soluzioni positive, in questo caso -1, senza stare a fare altri conti

[Fedecart]

E comunque il testo dice che è intero quindi devi verificare anche le uguaglianze con -1...

Sono uno scemo, non so perchè ma credo sempre che le soluzioni vadano cercate in N e non in Z per questi problemi... Certo che leggere bene il testo non mi farebbe male...