equazione

[L'ale]

Potreste illustrarmi un metodo generale per risolvere le equazioni come questa?

x^3 + 2y^3 = 4z^3 (nel campo degli interi)

Per cominciare io direi che x^3 deve esser divisibile per 2, perciò lo esprimerei cme 2k. Come si arriva alla fine, cioè a trovare tutte le terne che la verificano?
Grazie

[Alex90]

$ \displaystyle x^3 + 2y^3 = 4z^3 $

Innanzitutto nota che c'è una soluzione per $ \displaystyle (0,0,0) $

Dimostriamo ora che non esistono altre soluzioni:

come hai notato tu x deve essere divisibile per 2

$ \displaystyle x=2x' $

Andiamo a sotituire

$ \displaystyle (2x')^3 + 2y^3 = 4z^3 $
$ \displaystyle 8x'^3 + 2y^3 = 4z^3 \Rightarrow 4x'^3 + y^3 = 2z^3 $

Pertanto anche y dovrà essere divisibile per 2

Ripetiamo il procedimento

$ \displaystyle y=2y' \Rightarrow 2x'^3 + 4y'^3 = z^3 $

Quindi anche z sarà multiplo di 2

$ \displaystyle z=2z' \Rightarrow x'^3 + 2y'^3 = 4z'^3 $

Che non è altro che l'equazione di partenza, perciò il procedimento può essere ripetutto all'infinito e quindi non esistono altre soluzioni intere; questo metodo si chiama discesa infinita, spero sia chiara

[L'ale]

Molto chiaro il procedimento (grazie mille alex), ma non ho ben capito perché se si può ripetere il procedimento all'infinito allora non ci sono altre soluzioni possibili...

E in generale, se non si incappasse nella discesa infinita, come si determinerebbero tutti i valori?

[Algebert]

E in generale, se non si incappasse nella discesa infinita, come si determinerebbero tutti i valori?

Beh bisogna vedere che tipo di equazione si ha di fronte, a seconda delle variabili, dei coefficienti e degli esponenti il procedimento è diverso.
Per quanto riguarda la discesa infinita, è chiaro che quando si incappa in essa non si possono trovare soluzioni, perchè come ha detto Alex90 ogni volta si ritorna all'equazione di partenza senza trovare alcuna soluzione (eccetto quella all'inizio) che la soddisfi. E' la stessa cosa che si applica nella celebre dimostrazione dell'irrazionalità di $ \displaystyle \sqrt{2} $ fatta da Euclide.
Spero di esserti stato d'aiuto !

[L'ale]

Certo Algebert, sei stato molto d'aiuto..ora ho capito.
Potresti anche farmi qualche esempio di risoluzione..almeno quelli più comuni/utili?

[Fedecart]

Per la mia minuscola eserienza posso dirti che quando la diofantea è in due variabili è molto utile risolverla per una e poi vedere che condizioni devono essere verificate dall'altra parte dell'uguale per rimanere in Z o N a seconda del problema...

[L'ale]

grazie mille Fedecart...qualche altro contributo?

[pic88]

(nel campo degli interi)

qualche altro contributo?

Gli interi non sono un campo.

[pic88]

Ok, ora una formulazione equivalente per la discesa infinita:
considera la quantità f(x,y,z)= |x|+|y|+|z|: essa è un numero naturale.

Ora, se ci sono soluzioni, ci sarà tra esse una terna (a,b,c) che minimizza f(a,b,c) (ogni sottoinsieme nonvuoto di N ha minimo). Prendi quella terna, e scopri che in realtà anche (a/2,b/2,c/2) è soluzione, solo che f(a/2,b/2,c/2)<f(a,b,c), assurdo. Quindi l'insieme delle soluzioni era vuoto.

[Stradh]

Ok, ora una formulazione equivalente per la discesa infinita:
considera la quantità f(x,y,z)= |x|+|y|+|z|: essa è un numero naturale.

Ora, se ci sono soluzioni, ci sarà tra esse una terna (a,b,c) che minimizza f(a,b,c) (ogni sottoinsieme nonvuoto di N ha minimo). Prendi quella terna, e scopri che in realtà anche (a/2,b/2,c/2) è soluzione, solo che f(a/2,b/2,c/2)<f(a,b,c), assurdo. Quindi l'insieme delle soluzioni era vuoto.

... o meglio se $ f(x,y,z)=0 $ con $ x,y,z $ interi può valere l'uguaglianza:

$ f(a/2,b/2,c/2)<=f(a,b,c)=f(0,0,0) $

nel qual caso l'insieme non è vuoto.