somma di cubi
somma di cubi
dimostrare che la somma dei cubi dei primi n numeri è un quadrato perfetto
Si dimostra facilmente per induzione che:
$ $1^3 + 2^3 + 3^3 +\dots+ n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$ $
Nient'altro che il quadrato della somma dei primi $ $n$ $ interi positivi
!
$ $1^3 + 2^3 + 3^3 +\dots+ n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$ $
Nient'altro che il quadrato della somma dei primi $ $n$ $ interi positivi
!"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
La proposizione è ovviamente vera per n=1. Ora dobbiamo vedere che se l'enunciato vale per un certo n, allora vale anche per n+1.
$ $ 1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\left[ \frac { n(n+1)}{2} \right] ^2 $ allora $ $ 1^3+2^3+3^3+\dots +n^3+(n+1)^3=\left[ \frac { n(n+1)}{2} \right] ^2+(n+1)^3 $ da cui si ottiene alla fine che
$ $ \left[\frac {(n+1)(n+2)}{2} \right]^2 $
Ma questa espressione è uguale a quella di partenza in cui al posto di n c'è n+1.
$ $ 1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\left[ \frac { n(n+1)}{2} \right] ^2 $ allora $ $ 1^3+2^3+3^3+\dots +n^3+(n+1)^3=\left[ \frac { n(n+1)}{2} \right] ^2+(n+1)^3 $ da cui si ottiene alla fine che
$ $ \left[\frac {(n+1)(n+2)}{2} \right]^2 $
Ma questa espressione è uguale a quella di partenza in cui al posto di n c'è n+1.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)