Siano $ a,b,c \in \mathbb{R}^+ $ tali che $ abc=1 $.
Provare che $ $ \frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2} \le 1 $.
[Disuguaglianza] Baltic Way 2005 (5)
$ $ \sum_{cyc} \frac{a}{a^2+2} \le 1 $ $
$ $(a-1)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 2a + 1 \ge 0 \Rightarrow a^2 + 1 \ge 2a \Rightarrow a^2 + 2 \ge 2a + 1$ $
$ $\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+2} \le \sum_{cyc} \frac{a}{2a + 1} \le 1 $
$ $ \sum_{cyc} a(2b + 1)(2c + 1) \le (2a+1)(2b + 1)(2c + 1) $
Svolgiamo un po' di calcoli
$ $ \sum_{cyc} 4abc + 2ab + 2ac + a \le 8abc + 4 (ab + bc + ca) + 2(a+b+c) + 1 $
$ 12abc + 4(ab + bc + ca) + a + b + c \le 8abc + 4 (ab + bc + ca) $$ $+ 2(a+b+c) + 1 \Rightarrow a + b + c \ge 3 $
$ $\frac{a+b+c}{3} \ge 1 = \sqrt[3]{abc}\ AM \ge GM $
$ $(a-1)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 2a + 1 \ge 0 \Rightarrow a^2 + 1 \ge 2a \Rightarrow a^2 + 2 \ge 2a + 1$ $
$ $\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+2} \le \sum_{cyc} \frac{a}{2a + 1} \le 1 $
$ $ \sum_{cyc} a(2b + 1)(2c + 1) \le (2a+1)(2b + 1)(2c + 1) $
Svolgiamo un po' di calcoli
$ $ \sum_{cyc} 4abc + 2ab + 2ac + a \le 8abc + 4 (ab + bc + ca) + 2(a+b+c) + 1 $
$ 12abc + 4(ab + bc + ca) + a + b + c \le 8abc + 4 (ab + bc + ca) $$ $+ 2(a+b+c) + 1 \Rightarrow a + b + c \ge 3 $
$ $\frac{a+b+c}{3} \ge 1 = \sqrt[3]{abc}\ AM \ge GM $
