Sequenza del 97..

[jordan]

Quante sono le funzioni $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ tale che
(i)$ f(1)=1 $ e
(ii)$ f(n)f(n+2)=f^2(n+1)+1997, \forall n \in \mathbb{N} $ ?

[darkcrystal]

Solo l'idea fondamentale: se $ f(n)f(n+2)=f^2(n+1)+1997 $ si ha anche $ f(n+1)f(n+3)=f^2(n+2)+1997 $. Sottraggo membro a membro e riarrangio: $ \displaystyle \frac{f(n+2)}{f(n+1)+f(n+3)} =\frac{f(n+1)}{f(n)+f(n+2)} $, cioè quel rapporto non cambia al cambiare di n. Ma allora gli diamo un nome - j - e diciamo che $ f(n+1)=jf(n)+jf(n+2) $, e cioè f è una successione lineare per ricorrenza. Da lì non è molto difficile concludere.