Dato un numero primo $ $p$ $, determinare tutte le coppie ordinate di numeri naturali $ $(m,n)$ $ che verificano l'equazione:
$ $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}= \frac{1}{p}$ $
Febbraio '97
Lo risolvo per $ $p > 0$ $. In questo caso abbiamo chiaramente che $ $m,n > p$ $; dunque, poniamo $ $m = p + q$ $ ed $ $n = p + r$ $, e sostituiamoli nell'espressione. Otteniamo:
$ $\frac{1}{p + q} + \frac{1}{p + r} = \frac{1}{p} \Rightarrow p^2 = qr$ $
Le uniche coppie $ $(q,r)$ $ che soddisfano tale equazione, essendo $ $p$ $ primo, sono $ $(1,p^2), (p,p), (p^2,1)$ $. Dunque vi sono così tre coppie di infinite soluzioni $ $(x,y)$ $, ovvero $ $(p + 1, p(p + 1)), (2p,2p), (p(p + 1),p + 1)$ $.
E se non sbaglio dovrebbe valere la stessa cosa anche per $ $p < 0$ $.
$ $\frac{1}{p + q} + \frac{1}{p + r} = \frac{1}{p} \Rightarrow p^2 = qr$ $
Le uniche coppie $ $(q,r)$ $ che soddisfano tale equazione, essendo $ $p$ $ primo, sono $ $(1,p^2), (p,p), (p^2,1)$ $. Dunque vi sono così tre coppie di infinite soluzioni $ $(x,y)$ $, ovvero $ $(p + 1, p(p + 1)), (2p,2p), (p(p + 1),p + 1)$ $.
E se non sbaglio dovrebbe valere la stessa cosa anche per $ $p < 0$ $.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
eccolo:
minimo comune multiplo eccetera eccetera: l'equazione diventa $ $np+mp=mn $ ; raccogliamo $ $p $ al primo membro e otteniamo $ $p(n+m)=mn $ ; a questo punto almeno uno fra $ $m $ e $ $n $dev'essere multiplo di $ $p $ : poniamo $ $m=ap $ e svolgiamo le opportune semplificazioni : otteniamo $ $ap=an-n $ . A questo punto raccogliamo $ $n $ al secondo membro e otteniamo $ $ap=n(a-1) $ . Poichè $ $a $ non può essere multiplo di $ $a-1 $, allora lo deve essere $ $p $ , e questo è possibile in 2 casi:
caso 1:
$ $p=a-1 $ , da cui otteniamo $ $a=n $ e $ $m=np $ ; sostituendo nella prima equazione otteniamo $ $np+np^2=n^2p $ da cui la soluzione $ $(p+1;p(p+1)) $ .
Poichè l'equazione è simmetrica rispetto a $ $m $ e $ $n $ , ponendo all'inizio del procedimento $ $n=ap $ e procedendo in modo analogo si ottiene anche la soluzione $ $(p(p+1);p+1) $
caso 2:
$ $a-1=1 $ ovvero $ $a=2 $ , da cui $ $m=2p $ . Sostituendo nell'equazione iniziale otteniamo la soluzione $ $(2p;2p) $ . Qui la simmetria dell'equazione è trascurabile in quanto $ $m=n $
va bene?
minimo comune multiplo eccetera eccetera: l'equazione diventa $ $np+mp=mn $ ; raccogliamo $ $p $ al primo membro e otteniamo $ $p(n+m)=mn $ ; a questo punto almeno uno fra $ $m $ e $ $n $dev'essere multiplo di $ $p $ : poniamo $ $m=ap $ e svolgiamo le opportune semplificazioni : otteniamo $ $ap=an-n $ . A questo punto raccogliamo $ $n $ al secondo membro e otteniamo $ $ap=n(a-1) $ . Poichè $ $a $ non può essere multiplo di $ $a-1 $, allora lo deve essere $ $p $ , e questo è possibile in 2 casi:
caso 1:
$ $p=a-1 $ , da cui otteniamo $ $a=n $ e $ $m=np $ ; sostituendo nella prima equazione otteniamo $ $np+np^2=n^2p $ da cui la soluzione $ $(p+1;p(p+1)) $ .
Poichè l'equazione è simmetrica rispetto a $ $m $ e $ $n $ , ponendo all'inizio del procedimento $ $n=ap $ e procedendo in modo analogo si ottiene anche la soluzione $ $(p(p+1);p+1) $
caso 2:
$ $a-1=1 $ ovvero $ $a=2 $ , da cui $ $m=2p $ . Sostituendo nell'equazione iniziale otteniamo la soluzione $ $(2p;2p) $ . Qui la simmetria dell'equazione è trascurabile in quanto $ $m=n $
va bene?
marco
!