Rileggendo il titolo...
Funzionale ricorrente...
Dunque l'unica funzione che soddisfa è $ $f(x)=x$ $
Verifichiamo
$ $x+4x+x=6x$ $
Ora definiamo una successione per ricorrenza:
$ $a_0=a$ $
$ $a_{n+1}=f(a_n)$ $
L'equazione funzionale di partenza può quindi essere scritta come
$ $a_{n+3}+4a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n$ $
Spostando i termini di qua e di là otteniamo la seguente relazione
$ $a_{n+3}=-4a_{n+2}-a_{n+1}+6a_n$ $
Non ci resta altro che trovare una formula chiusa (si dice così, no?) per ogni termine della successione e quindi risolviamo la seguente equazione di terzo grado
$ $z^3+4z^2+z-6=0$ $
Un po' di calcoli, (mica tanto visto che il caro Ruffini ci suggerisce di trovare le radici fra i divisori di $ $-6$ $), e le radici sono $ $+1,~-2,~-3$ $
Adesso possiamo scrivere
$ $a_n=r(1)^n+s(-2)^n+t(-3)^n$ $
con
r, s, t da determinare
Facendo un po' di casi (sfruttando del fatto che la funzione va dai positivi ai positivi) si può dire che
s e
t devono essere per forza uguali a 0,
e quindi $ $a_{n}=r$ $ ; ma siccome $ $a_0=a=r$ $ abbiamo che $ $a_n=a$ $.
Ponendo ora $ $n=1$ $ otteniamo la tesi
$ $a_1=f(a_0)=f(a)=a$ $
Se non ho sbagliato qualche passaggio allora il problema era davvero carino
