Problemi su problemi

[Azarus]

visto che come problem creator faccio un po\' schifo, come dimostrano ben 2 post precedenti mi affido al caro vecchio Engel.
<BR>Ah, su esplicita richiesta di Veneziano, Jack 202 è diffidato dal risolvere i problemi di combinatoria <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>1) 4^545 + 545^4 è un numero primo?
<BR>
<BR>2) n^4 + 4^n con n naturale maggiore di 1 per quali valori di n è primo?
<BR>
<BR>3) in una sequenza finita di reali la somma di 7 elementi consecutivi è sempre negativa mentre ogni somma di 11 elementi consecutivi è positiva.
<BR>quale è il massimo numero di naturali nella sequenza?
<BR>
<BR>4)caso generale del 3, rimpiazzando 7 e 11 con p,q coprimi
<BR>
<BR>5) 2n giocatori partecipano ad un torneo di tennis.Quanti sono gli accoppiamenti possibili al primo turno (facillimo)
<BR>
<BR>6) esiste un poliedro con un numero di facce dispari e ogni faccia con un numero dispari di spigoli?
<BR>
<BR>7) la funzione phi di Eulero associa al naturale n tutti i numeri che sono coprimi e minori di n.
<BR>
<BR>provare che phi(n) = n*prod(1-1/p_i) con p_1...p_n divisori primi di n
<BR>
<BR>

[massiminozippy]

Il primo me lo propose Tassinari in chat, il secondo è stato già risolto da Maus o Ale86, per il resto ci penserò domani o stasera.
<BR>P.S. Domani vado a vedere Nash, ne vale la pena.

[J4Ck202]

Beh, concedetemi almeno il lusso di citare una certa \"Sophie Gérmain\"..
<BR>
<BR>(2k+1)^4 + 4^(2k+1) =
<BR>((2k+1)^4 + 2^(2k+1))^2 - 2^(2k+2) (2k+1)^4 =
<BR>
<BR>[ (2k+1)^4 + 2^(2k+1) + 2^(k+1) (2k+1)^2 ] *
<BR>[ (2k+1)^4 + 2^(2k+1) - 2^(k+1) (2k+1)^2 ]
<BR>
<BR>penso sia un ottimo spunto..
<BR>
<BR>

[Azarus]

nessuno te lo vietava ^_^

[massiminozippy]

Do un aiutino per i primi due problemi.
<BR>Il primo è un caso particolare del secondo.
<BR>Il secondo è datato CORTONA 1993.
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

[WindowListener]

7)
<BR>
<BR>Phi(p)= p-1 dove p è un numero primo
<BR>
<BR>
<BR>p-1 = p ( 1 - 1/p)
<BR>
<BR>e per le proprietà della funzione ( p_i sono i fattori primi distinti di n)
<BR>Phi(p_1^x_1*p_2^x_2*.....p_n^x_n) = Phi(p_1^x_1)*Phi(p_2^x_2) ......... Phi(p_n^x_n) =
<BR>p_1^x_1*p_2^x_2.............p_n^x_n*(1-1/(p_1))^x_1.........(1-1/(p_n))^x_n = quello che si voleva dimostrare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

[WindowListener]

2)
<BR>
<BR>per nn usare spudoratamente l\'aiuto di jack202 anche se alla fine mi tocca....
<BR>
<BR>cmq analizzando il resto modulo 5 vediamo che 4^(2n+1) mod 5 = 4 per ogni n
<BR>
<BR>e (2n+1)^4 mod 5 = 1 se 2n+1 = 5k+1; 5k +2 ; 5k+3;5k+4
<BR>
<BR>quindi n^4+4^n sarà sempre multiplo di 5 ( tranne quando n = 5h) e
<BR>nn sarà numero primo a meno che n=1 e di conseguenza 1+4 = 5 che è primo....
<BR>
<BR>ci resta da discutere il caso n = 5k che si risolve sostituendo nell\'eq suggerita da jack....
<BR>se ho tempo posto la sol in modo più umano...
<BR>
<BR>ciao

[pennywis3]

Window, nella soluzione che hai postato del 7 manca la dimostrazione del fatto che phi(n) è moltiplicativa [phi(ab)=phi(a)phi(b) se MCD(a,b)=1]
<BR>
<BR>
<BR>Ciao a tutti,
<BR>salumi e prosciutti.
<BR>
<BR>~p3~<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pennywis3 il 28-03-2003 22:31 ]