Domanda su induzione

[Haile]

Sia $ $\mathcal{F}$ $ un numero di Fibonacci. Mi si chiede la dimostrazione della nota(?) proprietà:

$ $\mathcal{F}_{n+m} = \mathcal{F}_{n-1} \mathcal{F}_{m} + \mathcal{F}_{n} \mathcal{F}_{m+1}$ $

Decido di procedere per induzione, verifico che è vera per $ $m=1$ $ e dimostro che se è vera per $ $m$ $ allora è vera anche per $ $m+1$ $.

Domanda: l'esercizio è finito? È sufficiente l'induzione solo su $ $m$ $?

[Ani-sama]

Sì, a patto che tu fissi $ n $ in modo arbitrario. Insomma, volendo essere formali, uno vuole mostrare che l'insieme $ A := \{ m \in \mathbb N : \forall n \in \mathbb N, f_{n+m} = f_{n-1}f_m+f_n f_{m+1}\} $ è esattamente uguale a $ \mathbb N $ sfruttando il principio di induzione, e ciò vuol proprio dire dimostrare quella proposizione per induzione su $ m $, con $ n $ fissato arbitrario.

[Haile]

Sì, a patto che tu fissi $ n $ in modo arbitrario. Insomma, volendo essere formali, uno vuole mostrare che l'insieme $ A := \{ m \in \mathbb N : \forall n \in \mathbb N, f_{n+m} = f_{n-1}f_m+f_n f_{m+1}\} $ è esattamente uguale a $ \mathbb N $ sfruttando il principio di induzione, e ciò vuol proprio dire dimostrare quella proposizione per induzione su $ m $, con $ n $ fissato arbitrario.

Ottimo,

Grazie