Si supponga che una nuvola sia formata da piccole goccioline d'acqua sospese in aria, distribuite uniformemente e ferme, e si consideri una goccia di pioggia che cade attraverso di loro. Qual è l'accelerazione con cui cade la goccia?
Si assuma che il raggio della goccia nel momento in cui inizia a cadere sia trascurabile, così come la sua velocità iniziale. Quando la goccia colpisce una gocciolina, la gocciolina entra a far parte della goccia più grande. Si considerino tutte le gocce sferiche in ogni istante. Tutto quanto si svolge in un campo di gravità $ \displaystyle \vec{g} $ uguale ovunque e rivolto verso il basso.
Attenzione: questo problema è molto bello ma anche piuttosto difficile (circa come questo, secondo me: sarebbe un plausibile problema difficile di ammissione). Non mancano dati. Se volete aiuto, chiedete.
Una goccia che cade.
Non essendo assolutamente in grado di risolverlo tutto d'un pezzo provo ad avvicinarmi facendo domande o provando un po... Ma, come fa il tutto ad essere in equilibrio all'inizio (quando nemmeno la gocciolina sta cadendo)? Sono forze intermolecolari?
E poi, dove l'hai trovato? E' davvero bello come problema!!
Provo a fare qualcosa.
All'inizio la forza che agisce sulla goccia iniziale è $ F=mg $
Dopo l'n-esimo urto abbiamo che $ F_1=nma $ e quindi che $ a=\frac{F}{nm} $
La $ F_1 $ è la forza di attrazione gravitazionale tra il pianeta e la goccia in considerazione.
$ F_1=\frac{GMnm}{(R+h)^2} $ dove G è la costante di Cavendish, M la massa del pianeta, R il raggio del pianeta, h l'altezza da terra a nuvola.
Sostituendo nell'equazione di prima abbiamo che
$ \frac{GMnm}{(R+h)^2}=nma $ da cui
$ a=\frac{GM}{(R+h)^2} $
Ora l'unica incognita è h (suppongo che il raggio della terra sia una costante data sennò da ora in poi me lo imparo a memoria e così lo faccio diventare a forza una quantità nota
)
Ora vado a pranzo e nel frattempo penso a come trovare h (credo che con una conservazione dell'energia potenziale-cinetica del tipo $ mgh=\frac{1}{2}mv^2 $ dovrebbe essere fattibile ma non ne sono certo. Fatemi sapere che ne pensate o se ci sono di già errori nella mia risposta... Dai io vado torno tra un po!!
E poi, dove l'hai trovato? E' davvero bello come problema!!
Provo a fare qualcosa.
All'inizio la forza che agisce sulla goccia iniziale è $ F=mg $
Dopo l'n-esimo urto abbiamo che $ F_1=nma $ e quindi che $ a=\frac{F}{nm} $
La $ F_1 $ è la forza di attrazione gravitazionale tra il pianeta e la goccia in considerazione.
$ F_1=\frac{GMnm}{(R+h)^2} $ dove G è la costante di Cavendish, M la massa del pianeta, R il raggio del pianeta, h l'altezza da terra a nuvola.
Sostituendo nell'equazione di prima abbiamo che
$ \frac{GMnm}{(R+h)^2}=nma $ da cui
$ a=\frac{GM}{(R+h)^2} $
Ora l'unica incognita è h (suppongo che il raggio della terra sia una costante data sennò da ora in poi me lo imparo a memoria e così lo faccio diventare a forza una quantità nota
)Ora vado a pranzo e nel frattempo penso a come trovare h (credo che con una conservazione dell'energia potenziale-cinetica del tipo $ mgh=\frac{1}{2}mv^2 $ dovrebbe essere fattibile ma non ne sono certo. Fatemi sapere che ne pensate o se ci sono di già errori nella mia risposta... Dai io vado torno tra un po!!
- Nella realtà penso che le nuvole stiano in aria perchè c'è l'atmosfera che le sostiene, ma nel problema facciamo finta di poter trascurare l'effetto dell'aria sulla nostra goccia.Fedecart ha scritto:Non essendo assolutamente in grado di risolverlo tutto d'un pezzo provo ad avvicinarmi facendo domande o provando un po... Ma, come fa il tutto ad essere in equilibrio all'inizio (quando nemmeno la gocciolina sta cadendo)? Sono forze intermolecolari?
E poi, dove l'hai trovato? E' davvero bello come problema!!
Provo a fare qualcosa.
All'inizio la forza che agisce sulla goccia iniziale è $ F=mg $
Dopo l'n-esimo urto abbiamo che $ F_1=nma $ e quindi che $ a=\frac{F}{nm} $
La $ F_1 $ è la forza di attrazione gravitazionale tra il pianeta e la goccia in considerazione.
$ F_1=\frac{GMnm}{(R+h)^2} $ dove G è la costante di Cavendish, M la massa del pianeta, R il raggio del pianeta, h l'altezza da terra a nuvola.
Sostituendo nell'equazione di prima abbiamo che
$ \frac{GMnm}{(R+h)^2}=nma $ da cui
$ a=\frac{GM}{(R+h)^2} $
Ora l'unica incognita è h (suppongo che il raggio della terra sia una costante data sennò da ora in poi me lo imparo a memoria e così lo faccio diventare a forza una quantità nota
Ora vado a pranzo e nel frattempo penso a come trovare h (credo che con una conservazione dell'energia potenziale-cinetica del tipo $ mgh=\frac{1}{2}mv^2 $ dovrebbe essere fattibile ma non ne sono certo. Fatemi sapere che ne pensate o se ci sono di già errori nella mia risposta... Dai io vado torno tra un po!!
- La fonte è sempre il Morin.
- No, no, no! Il campo di gravità ho detto che è costante, se provate a farlo considerando anche che la gravità cambia spostandosi sicuramente viene fuori un'equazione differenziale bruttissima che non si risolve.
- Ci sono *tanti* errori nella tua risposta... Riprova a pensare al procedimento e giustifica ogni formula che scrivi.
- Sì, solo in funzione di g.Fedecart ha scritto:il risultato quindi solo in funzione di g ? (in tal caso si aggira intorno a 0,3g ?)
- No, non si aggira intorno a 0,3g...
Piccolo OT
Sicuro che non manchi almeno un dato?
Mi sa che se non si ha la sezione d'urto (in pratica la probabilita' che avvenga una collisione) sia difficile stabilire la diminuzione di velocita' per urto anelastico.
A meno di non considerare un "rate lineare" (supponiamo una distribuzione regolare, tipo reticolo e la goccia infilza una goccia dopo l'altra).
G e' universalmente conosciuta come "Costante gravitazionale universale". "Costante di Cavendish" non l'ho mai sentito usare.Fedecart ha scritto: $ F_1=\frac{GMnm}{(R+h)^2} $ dove G è la costante di Cavendish, M la massa del pianeta, R il raggio del pianeta, h l'altezza da terra a nuvola.
Sicuro che non manchi almeno un dato?
Mi sa che se non si ha la sezione d'urto (in pratica la probabilita' che avvenga una collisione) sia difficile stabilire la diminuzione di velocita' per urto anelastico.
A meno di non considerare un "rate lineare" (supponiamo una distribuzione regolare, tipo reticolo e la goccia infilza una goccia dopo l'altra).
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a giudicare da quanto dato nel problema, da come la vedo io, abbiamo da una parte la forza peso (con la sua mitica g) dall'altra una forza provacata dall'urto anaelastico della goccia con le goccioline della nube...
in poche parole si riduce il tutto a studiare la variazione di quantità di moto in un intervallo infinitesimo dt, il che comporta che l'accellerazione finale della goccia risulta essere in funzione del numero di urti che questa subisce nel suo passaggio (palese ovvietà).
inoltre, sapendo che la densità della nuvola è uniforme, bisogna tener presente il numero di particelle in unità di volume, in quanto (come mi ha saggiamente consigliato l'amico psyko) il volume della goccia cresce in base al numero di urti...
secondo voi sto procedendo sulla strada giusta?
fatemi sapere se c'è qualche errore in questo ragionamento...
in poche parole si riduce il tutto a studiare la variazione di quantità di moto in un intervallo infinitesimo dt, il che comporta che l'accellerazione finale della goccia risulta essere in funzione del numero di urti che questa subisce nel suo passaggio (palese ovvietà).
inoltre, sapendo che la densità della nuvola è uniforme, bisogna tener presente il numero di particelle in unità di volume, in quanto (come mi ha saggiamente consigliato l'amico psyko) il volume della goccia cresce in base al numero di urti...
secondo voi sto procedendo sulla strada giusta?
fatemi sapere se c'è qualche errore in questo ragionamento...
due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo... ma della prima non sono ancora sicuro
C'è scritto che le goccioline sono "distribuite uniformemente", che vuol dire che in media ce ne sono $ \displaystyle n >> 1 $ per metro cubo. Tuttavia supporle disposte in un modo particolare potrebbe alterare il risultato, perciò bisogna giustificare bene quello che si fa...SkZ ha scritto:Mi sa che se non si ha la sezione d'urto (in pratica la probabilita' che avvenga una collisione) sia difficile stabilire la diminuzione di velocita' per urto anelastico.
A meno di non considerare un "rate lineare" (supponiamo una distribuzione regolare, tipo reticolo e la goccia infilza una goccia dopo l'altra).
Una cosa del tipo calcolare il volume della forma simil-piramidale (o forse proprio piramidale... boh ci devo pensare un po' meglio) che descrive la goccia in caduta allargandosi, calcolare l'energia potenziale dell'acqua al suo interno prendendo una densità D, e infine trovare la velocità passando per l'energia cinetica e sperando che visto che si semplifica la massa si semplificherà anche la densità, tutto ciò può avere un senso? (vorrei evitarmi un paio di facciate di conti inutili, inoltre mia madre mi grida da sotto che c'è pronto e non ho troppo tempo...)
serve cmq la sezione d'urto.Pigkappa ha scritto:C'è scritto che le goccioline sono "distribuite uniformemente", che vuol dire che in media ce ne sono $ \displaystyle n >> 1 $ per metro cubo. Tuttavia supporle disposte in un modo particolare potrebbe alterare il risultato, perciò bisogna giustificare bene quello che si fa...
Che $ ~n\gg1 $ non ha importanza. quello che importa di piu' e' se, dato $ ~l $ lunghezza caratteristica della goccia, la relazione tra $ ~l^3 $ e $ ~\frac 1 n $
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io per arrivare a quel "qualcosa tipo 0,3g" avevo considerato la nuvola come un reticolo 'quadratico' di particelle sferiche di raggio $ r $, massa $ m $ e distanti $ h $ (lato dei quadrati)
una di queste particelle comincia a cadere sulla verticale e, fino a quando non ha le dimensioni tali da 'inglobare' le particelle laterali, compie una serie di urti anelastici con quelle disposte sulla sua verticale
ho trovato quindi la seguente relazione tra la velocità appena prima del n-esimo urto e il numero di urti
$ v_n = v_1 \sqrt{\frac{1^2+2^2...+n^2}{n^2}} $ dove $ v_1 = \sqrt{2gh} $
appena prima del n-esimo impatto il raggio della sfera è $ \sqrt[3]{n} $ volte quello iniziale $ r $.
quindi esiste un valore x tale che $ r \sqrt[3]{x} = h $ , ovvero quando la goccia diventa di dimensioni tali da inglobare anche le particelle delle verticali prossime ad essa
a questo punto mi son fermato (il valore 0.3g mi veniva per una decina di urti anelastici, l'ho buttato lì)
EDIT: l'accelerazione la calcolerei con quella semplice di un moto uniformemente accelerato $ a = \frac{v_n^2}{2s} $ (con $ s = nh $ finchè $ n < x $ ) ; non so quanto possa essere corretta come accelerazione 'media'..)
una di queste particelle comincia a cadere sulla verticale e, fino a quando non ha le dimensioni tali da 'inglobare' le particelle laterali, compie una serie di urti anelastici con quelle disposte sulla sua verticale
ho trovato quindi la seguente relazione tra la velocità appena prima del n-esimo urto e il numero di urti
$ v_n = v_1 \sqrt{\frac{1^2+2^2...+n^2}{n^2}} $ dove $ v_1 = \sqrt{2gh} $
appena prima del n-esimo impatto il raggio della sfera è $ \sqrt[3]{n} $ volte quello iniziale $ r $.
quindi esiste un valore x tale che $ r \sqrt[3]{x} = h $ , ovvero quando la goccia diventa di dimensioni tali da inglobare anche le particelle delle verticali prossime ad essa
a questo punto mi son fermato (il valore 0.3g mi veniva per una decina di urti anelastici, l'ho buttato lì)
EDIT: l'accelerazione la calcolerei con quella semplice di un moto uniformemente accelerato $ a = \frac{v_n^2}{2s} $ (con $ s = nh $ finchè $ n < x $ ) ; non so quanto possa essere corretta come accelerazione 'media'..)
Ultima modifica di CoNVeRGe. il 05 gen 2009, 20:08, modificato 4 volte in totale.
Sì, ok. Diciamo che l'unica cosa che conta è che ci sia un numero di bollicine sufficiente da far sì che possiamo considerare il processo come quasi continuo e non dobbiamo andare a vedere come sono messe in particolare le bollicine.SkZ ha scritto: Che $ ~n\gg1 $ non ha importanza. quello che importa di piu' e' se, dato $ ~l $ lunghezza caratteristica della goccia, la relazione tra $ ~l^3 $ e $ ~\frac 1 n $
Io ho trovato come soluizione g/2. però ho fatto l'approssimazione, e non so quanto possa essere vera, che il raggio via via crescente della goccia che cade non influisca sulla frequenza degli urti, cioè che l'intervallo di tempo $ \Delta t $ tra un urto e l'altro sia sempre lo stesso. Posto comunque il ragionamento che ho fatto.
Chiamo $ v(n) $ e $ v(n-1,n) $ le velocità della goccia subito dopo e subito prima dell'n-esimo urto. Poichè si conserva la quantità di moto allora $ v(n)M(n)=v(n-1,n)M(n-1,n) $
Si vede che $ M(n)=(n+1)M $ e $ M(n-1,n)=nM $, dove M è la massa di una singola goccia, e quindi $ $v(n)=\frac{n}{n+1}v(n-1,n)$ $
Tra l'n-1-esimo e l'n-esimo urto la gravità accelera la goccia per un tempo $ \Delta t $ e quindi $ v(n-1,n)=v(n-1)+g\Delta t $, da cui $ $v(n)=\frac{n}{n+1}v(n-1)+\frac{n}{n+1}g\Delta t$ $
Da questa formula si arriva attraverso alcuni calcoli a:
$ $v(n)=\frac{1}{n+1}v_0+\frac{g\Delta t}{n+1}\sum_{k=1}^n{k}$ $
Dato che $ v_0=0 $ allora si ha $ $v(n)=\frac{n(n+1)}{2(n+1)}g\Delta t=\frac{ng\Delta t}{2}$ $L'accelerazione media è la variazione di velocità nel tempo complessivo:
$ $a=\frac{v(n)-v_0}{n\Delta t}=\frac{ng\Delta t}{2n\Delta t}=\frac{g}{2}$ $
Credo che la mia approssimazione sia valida nel caso in cui le gocce non siano troppo concentrate e che il loro raggio sia estremamente piccolo
Chiamo $ v(n) $ e $ v(n-1,n) $ le velocità della goccia subito dopo e subito prima dell'n-esimo urto. Poichè si conserva la quantità di moto allora $ v(n)M(n)=v(n-1,n)M(n-1,n) $
Si vede che $ M(n)=(n+1)M $ e $ M(n-1,n)=nM $, dove M è la massa di una singola goccia, e quindi $ $v(n)=\frac{n}{n+1}v(n-1,n)$ $
Tra l'n-1-esimo e l'n-esimo urto la gravità accelera la goccia per un tempo $ \Delta t $ e quindi $ v(n-1,n)=v(n-1)+g\Delta t $, da cui $ $v(n)=\frac{n}{n+1}v(n-1)+\frac{n}{n+1}g\Delta t$ $
Da questa formula si arriva attraverso alcuni calcoli a:
$ $v(n)=\frac{1}{n+1}v_0+\frac{g\Delta t}{n+1}\sum_{k=1}^n{k}$ $
Dato che $ v_0=0 $ allora si ha $ $v(n)=\frac{n(n+1)}{2(n+1)}g\Delta t=\frac{ng\Delta t}{2}$ $L'accelerazione media è la variazione di velocità nel tempo complessivo:
$ $a=\frac{v(n)-v_0}{n\Delta t}=\frac{ng\Delta t}{2n\Delta t}=\frac{g}{2}$ $
Credo che la mia approssimazione sia valida nel caso in cui le gocce non siano troppo concentrate e che il loro raggio sia estremamente piccolo
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
Sì, ma è falsa. Ho detto che il raggio iniziale della goccia è molto piccolo, perciò confrontabile con quello delle goccioline, perciò nel corso del tempo aumenta di parecchio...Rigel ha scritto:ho fatto l'approssimazione, e non so quanto possa essere vera, che il raggio via via crescente della goccia che cade non influisca sulla frequenza degli urti
)