Se voglio provare che $ \forall n \geqslant 2 $, dati $ x_1, x_2,\ldots, x_n \in \mathbb{R}_{0}^{+} $ se $ \sum_{j=1}^{n}x_{j}=1 $ allora $ \forall j, x_{j} \in [0,1] $, procedere per induzione è sbagliato?
Lo chiedo perché ricordo di una discussione dove si spiegava del perché l'induzione fosse sbagliata per provare il Teorema di Sylvester e alla fine della discussione io capii che era sbagliato perché l'ipotesi induttiva era una implicazione: questo caso mi pare analogo, i.e. l'ipotesi induttiva mi pare una implicazione, ma magari sbaglio...
Domanda su una induzione che credo non funzioni
Domanda su una induzione che credo non funzioni
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
So che usare l'induzione è eccessivo ma mi è venuta questa curiosità, ergo...
Il dubbio è nato perché qualora si usasse l'induzione per provare questo fatto, l'ipotesi induttiva sarebbe costituita da una implicazione, come accade nel teorema di Sylvester, quindi mi è venuto subito di dire "No: non la posso usare"; poi però mi son ricordato che si dimostra sempre per induzione che la potenza di un insieme finito di $ n $ elementi è $ 2^{n} $: anche in questo caso si ha che l'ipotesi induttiva è costituita da una implicazione, ma la dimostrazione è per induzione.
Dopo averci riflettuto un poco ho pensato che alla fine non era possibile usare l'induzione, almeno come volevo usarla io. Mostro perché (secondo me).
Per $ n=2 $ viene facile. Per $ n>2 $ supponiamo che $ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 \Rightarrow \forall i, x_{i} \in [0;1] $ sia vera e prendiamo $ \sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=1 $; a questo punto $ 1=\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=x_{n+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i} $, ma non so se $ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 $ oppure $ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\neq 1 $: in entrambi i casi l'ipotesi induttiva è vera, ma non posso dedurre che $ \forall 1\leqslant i \leqslant n, x_{i} \in [0;1] $, quindi anche se riuscissi in qualche modo a far discendere da $ 1=\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=x_{n+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i} $ che $ x_{n+1} \in [0;1] $ la dimostrazione non sarebbe esaurita perché mi mancherebbe l'appartenenza all'intervallo $ [0;1] $ dei restanti $ x_{i} $.
Dunque l'induzione fallisce.
E' così o sto sbagliando?
Il dubbio è nato perché qualora si usasse l'induzione per provare questo fatto, l'ipotesi induttiva sarebbe costituita da una implicazione, come accade nel teorema di Sylvester, quindi mi è venuto subito di dire "No: non la posso usare"; poi però mi son ricordato che si dimostra sempre per induzione che la potenza di un insieme finito di $ n $ elementi è $ 2^{n} $: anche in questo caso si ha che l'ipotesi induttiva è costituita da una implicazione, ma la dimostrazione è per induzione.
Dopo averci riflettuto un poco ho pensato che alla fine non era possibile usare l'induzione, almeno come volevo usarla io. Mostro perché (secondo me).
Per $ n=2 $ viene facile. Per $ n>2 $ supponiamo che $ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 \Rightarrow \forall i, x_{i} \in [0;1] $ sia vera e prendiamo $ \sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=1 $; a questo punto $ 1=\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=x_{n+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i} $, ma non so se $ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 $ oppure $ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\neq 1 $: in entrambi i casi l'ipotesi induttiva è vera, ma non posso dedurre che $ \forall 1\leqslant i \leqslant n, x_{i} \in [0;1] $, quindi anche se riuscissi in qualche modo a far discendere da $ 1=\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=x_{n+1}+\sum_{i=1}^{n}x_{i} $ che $ x_{n+1} \in [0;1] $ la dimostrazione non sarebbe esaurita perché mi mancherebbe l'appartenenza all'intervallo $ [0;1] $ dei restanti $ x_{i} $.
Dunque l'induzione fallisce.
E' così o sto sbagliando?
"La Morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
Ussignur questo è proprio tirarsi la zappa sui piedi... cmq si sembra lo stesso caso, qua è ancora più evidente. L'ipotesi induttiva è che se i primi n x fanno 1, allora tutti gli x_i sono minori di 1, ma tu non sei sicuro che facciano 1 (è possibile, se l'ultimo x=0, ma non è detto). Allo stesso modo con Sylvester, se l'insieme di n punti rispettasse le ipotesi, allora potresti essere sicuro che è allineato e quindi anche l'n+1-esimo punto lo è, ma niente garantisce che l'insieme di n punti rispetti le ipotesi.
Quanto tu dici riguardo all'ipotesi induttiva come implicazione ha senso se il fatto che n+1 rispetti le ipotesi NON implica che n le rispetti. Altrimenti abbiamo che n+1 rispetta le ipotesi->n rispetta le ipotesi->n rispetta la tesi->conti->n+1 rispetta le ipotesi. l'ipotesi induttiva è sempre un'implicazione: ipotesi valgono su n->tesi valgono su n, solo che in genere è scontato che le ipotesi valgano su n, in questo caso e per Sylvester no.
Quanto tu dici riguardo all'ipotesi induttiva come implicazione ha senso se il fatto che n+1 rispetti le ipotesi NON implica che n le rispetti. Altrimenti abbiamo che n+1 rispetta le ipotesi->n rispetta le ipotesi->n rispetta la tesi->conti->n+1 rispetta le ipotesi. l'ipotesi induttiva è sempre un'implicazione: ipotesi valgono su n->tesi valgono su n, solo che in genere è scontato che le ipotesi valgano su n, in questo caso e per Sylvester no.
Beh quell'induzione lì si, anche se a dire il vero si potrebbe sistemare con mezza riga. A ripensarci però non è esattamente come il problema di Sylvester (nel senso che se anche potessi usare il passo induttivo arriveresti a una conclusione falsa, e cioè che l'ultimo elemento è 0), in ogni caso entrambe le induzioni sono sbagliate.
Semplicemente è falso che dati n+1 numeri con somma 1, i primi n hanno somma 1.
Se proprio vuoi procedere per induzione, puoi dimostrare che dati n numeri con somma minore o uguale a 1 sono tutti minori o uguali a 1.
Semplicemente è falso che dati n+1 numeri con somma 1, i primi n hanno somma 1.
Se proprio vuoi procedere per induzione, puoi dimostrare che dati n numeri con somma minore o uguale a 1 sono tutti minori o uguali a 1.