vecchio problema
vecchio problema
Mostrare che se $ mcd(x!,y)=1 $ allora $ x! $ divide il prodotto il $ x $ temini consecutivi delle progressioni aritmetiche di ragione $ y $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Divido in due punti dato che MCD(x!;y)=1: y=1 (1) ed $ y>x $(2).
Il punto(1) è vero, infatti, data la progressione $ a_0,a_o+1,a_0+2,.... $, se un fattore $ x_1 $ di $ x! $ è tale che $ a_0\equiv j\pmod{x_1} $ allora $ a_n\equiv {j+n}\pmod {x_1} $. Dopo $ x_1 $ "tentativi" al massimo quindi ne troviamo uno congruo a 0, e dato che $ x_1<x $ o al massimo uguale, abbiamo x tentativi disponibili: funziona.
Il punto (2). Intanto sappiamo che $ MCD(x_1,y)=1 $
NB: dato che MCD(x!,y)=1, il minor k (tra i positivi)tale che$ ky\equiv 0\pmod {x_1} $ è nel caso $ k=x_1 $, ed i resti che compaiono, sostituendo a k gli interi che vanno da 0 ad $ x_1 $ in maniera crescente, prima di 0 sono tutti diversi tra loro. Allora si ha:
$ a_0\equiv c\pmod {x_1} $, $ a_1\equiv c+y\pmod {x_1} $, $ a_n\equiv c+yn\pmod {x_1} $ ed inoltre, dato che "il minor k (tra i positivi)tale che$ ky\equiv 0\pmod {x_1} $ è nel caso $ k=x_1 $ e i resti che compaiono prima di 0, sono tutti diversi tra loro", la "prossima" volta in cui in questa progressione si vedrà un $ a_b\equiv c\pmod {x_1} $ è quando $ a_b=a_{o+x_1} $, e prima di esso compaiono tutti i resti. Allora tra $ a_o $ ed $ a_{x_1-1} $ compaiono tutti i resti, compreso lo 0, e dato che $ x_1<x $ o al massimo uguale, vinco sempre.
funziona?
PS:come si fa in latex il simbolo maggiore o uguale?
Il punto(1) è vero, infatti, data la progressione $ a_0,a_o+1,a_0+2,.... $, se un fattore $ x_1 $ di $ x! $ è tale che $ a_0\equiv j\pmod{x_1} $ allora $ a_n\equiv {j+n}\pmod {x_1} $. Dopo $ x_1 $ "tentativi" al massimo quindi ne troviamo uno congruo a 0, e dato che $ x_1<x $ o al massimo uguale, abbiamo x tentativi disponibili: funziona.
Il punto (2). Intanto sappiamo che $ MCD(x_1,y)=1 $
NB: dato che MCD(x!,y)=1, il minor k (tra i positivi)tale che$ ky\equiv 0\pmod {x_1} $ è nel caso $ k=x_1 $, ed i resti che compaiono, sostituendo a k gli interi che vanno da 0 ad $ x_1 $ in maniera crescente, prima di 0 sono tutti diversi tra loro. Allora si ha:
$ a_0\equiv c\pmod {x_1} $, $ a_1\equiv c+y\pmod {x_1} $, $ a_n\equiv c+yn\pmod {x_1} $ ed inoltre, dato che "il minor k (tra i positivi)tale che$ ky\equiv 0\pmod {x_1} $ è nel caso $ k=x_1 $ e i resti che compaiono prima di 0, sono tutti diversi tra loro", la "prossima" volta in cui in questa progressione si vedrà un $ a_b\equiv c\pmod {x_1} $ è quando $ a_b=a_{o+x_1} $, e prima di esso compaiono tutti i resti. Allora tra $ a_o $ ed $ a_{x_1-1} $ compaiono tutti i resti, compreso lo 0, e dato che $ x_1<x $ o al massimo uguale, vinco sempre.
funziona?
PS:come si fa in latex il simbolo maggiore o uguale?
Reginald ha scritto:PS:come si fa in latex il simbolo maggiore o uguale?
Codice: Seleziona tutto
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Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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