nuova sommatoria monca- own
nuova sommatoria monca- own
Quanto fa: $ \displaystyle \sum_{1 \le i < j \le n}{(\frac{ n(n-1)...(n-(i-1))}{(i-1)!})^2(\frac{n-i}{j-1})(\frac{n-i-1}{j-2})...(\frac{n-j+1}{i})} $ ?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
$ \displaystyle~\sum_{1 \le i < j \le n}{\left(\frac{ n(n-1)\cdots[n-(i-1)]}{(i-1)!}\right)^2\left(\frac{n-i}{j-1}\right)\left(\frac{n-i-1}{j-2}\right)\cdots\left(\frac{n-j+1}{i}\right)}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1 \le i < j \le n}{\frac{(n-1)\cdots[(n-1)-(i-1)+1]}{(i-1)!}\cdot\frac{(n-1)\cdots[n-(i-1)](n-i)\cdots[(n-1)-(j-1)+1]}{(j-1)\cdots i\cdot (i-1)!}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1 \le i < j \le n}\binom{n-1}{i-1}\binom{n-1}{j-1}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1\le i < n}\sum_{i<j\le n}\binom{n-1}{i-1}\binom{n-1}{j-1}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1\le i < n}\sum_{i\le j\le n-1}\binom{n-1}{i-1}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{0\le i< n-1}\sum_{i< j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{0\le i < j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}=n^2s $, dove $ \displaystyle~s=\sum_{0\le i\le j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j} $
Sappiamo che $ \displaystyle~2s+\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1,~0\le j\le n-1,~i\neq j}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}+\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1}\sum_{0\le j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1}\binom{n-1}{i}\sum_{0\le j\le n-1}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1}\binom{n-1}{i}2^{n-1}=2^{n-1}\sum_{0\le i\le n-1}\binom{n-1}{i}=2^{2n-2} $
Ovvero abbiamo che $ \displaystyle~2s+\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}=2^{2n-2} $
Poniamo $ \displaystyle~t=\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j} $
$ \displaystyle~s=\frac{2^{2n-2}-t}{2} $
Ora, è $ \displaystyle~t=\sum_{0\le i\le n}\binom{n-1}{i}^2=\binom{2n-2}{n-1} $ come avevo ottenuto qua.
Quindi è $ \displaystyle~s=2^{2n-3}-\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2} $ e il valore della somma iniziale è $ \displaystyle~n^2\left(2^{2n-3}-\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2}\right) $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1 \le i < j \le n}{\frac{(n-1)\cdots[(n-1)-(i-1)+1]}{(i-1)!}\cdot\frac{(n-1)\cdots[n-(i-1)](n-i)\cdots[(n-1)-(j-1)+1]}{(j-1)\cdots i\cdot (i-1)!}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1 \le i < j \le n}\binom{n-1}{i-1}\binom{n-1}{j-1}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1\le i < n}\sum_{i<j\le n}\binom{n-1}{i-1}\binom{n-1}{j-1}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{1\le i < n}\sum_{i\le j\le n-1}\binom{n-1}{i-1}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{0\le i< n-1}\sum_{i< j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{0\le i < j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}=n^2s $, dove $ \displaystyle~s=\sum_{0\le i\le j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j} $
Sappiamo che $ \displaystyle~2s+\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1,~0\le j\le n-1,~i\neq j}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}+\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1}\sum_{0\le j\le n-1}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1}\binom{n-1}{i}\sum_{0\le j\le n-1}\binom{n-1}{j}= $
$ \displaystyle~=\sum_{0\le i\le n-1}\binom{n-1}{i}2^{n-1}=2^{n-1}\sum_{0\le i\le n-1}\binom{n-1}{i}=2^{2n-2} $
Ovvero abbiamo che $ \displaystyle~2s+\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j}=2^{2n-2} $
Poniamo $ \displaystyle~t=\sum_{0\le i=j\le n}\binom{n-1}{i}\binom{n-1}{j} $
$ \displaystyle~s=\frac{2^{2n-2}-t}{2} $
Ora, è $ \displaystyle~t=\sum_{0\le i\le n}\binom{n-1}{i}^2=\binom{2n-2}{n-1} $ come avevo ottenuto qua.
Quindi è $ \displaystyle~s=2^{2n-3}-\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2} $ e il valore della somma iniziale è $ \displaystyle~n^2\left(2^{2n-3}-\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2}\right) $
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
P.S.: $ \displaystyle~\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2} $ è per forza intero.
Questo ha un'ulteriore conferma in questo fatto:
$ \displaystyle~\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2}=\frac{\binom{2n-3}{n-2}+\binom{2n-3}{n-1}}{2}=\frac{\binom{2n-3}{(2n-3)-(n-1)}+\binom{2n-3}{n-1}}{2}= $$ \displaystyle~\frac{2\binom{2n-3}{n-1}}{2}=\binom{2n-3}{n-1} $
Quindi $ \displaystyle~\sum_{1 \le i < j \le n}{\left(\frac{ n(n-1)\cdots[n-(i-1)]}{(i-1)!}\right)^2\left(\frac{n-i}{j-1}\right)\left(\frac{n-i-1}{j-2}\right)\cdots\left(\frac{n-j+1}{i}\right)}= $$ \displaystyle~\displaystyle~n^2\left[2^{2n-3}-\binom{2n-3}{n-1}\right] $
Questo ha un'ulteriore conferma in questo fatto:
$ \displaystyle~\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{2}=\frac{\binom{2n-3}{n-2}+\binom{2n-3}{n-1}}{2}=\frac{\binom{2n-3}{(2n-3)-(n-1)}+\binom{2n-3}{n-1}}{2}= $$ \displaystyle~\frac{2\binom{2n-3}{n-1}}{2}=\binom{2n-3}{n-1} $
Quindi $ \displaystyle~\sum_{1 \le i < j \le n}{\left(\frac{ n(n-1)\cdots[n-(i-1)]}{(i-1)!}\right)^2\left(\frac{n-i}{j-1}\right)\left(\frac{n-i-1}{j-2}\right)\cdots\left(\frac{n-j+1}{i}\right)}= $$ \displaystyle~\displaystyle~n^2\left[2^{2n-3}-\binom{2n-3}{n-1}\right] $
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)