Sei ceviane

[Anér]

Sia ABC un triangolo, A' e A'' punti su BC e ciclicamente per B', B'' e C',C''. Dimostrare che due dei seguenti enunciati implicano il terzo:
a) AA', BB' e CC' concorrono
b) AA'', BB'' e CC'' concorrono
c) A', A'', B', B'', C', C'' giacciono su una conica

[Alex90]

Se AA', BB' e CC' concorrono allora per il teorema di Ceva si ha:

$ \displaystyle \frac{A'B}{A'C}\cdot\frac{B'C}{B'A}\cdot\frac{C'A}{C'B}=1 $

ugualmente se AA'', BB'' e CC'' concorrono si ha:

$ \displaystyle \frac{A''B}{A''C}\cdot\frac{B''C}{B''A}\cdot\frac{C''A}{C''B}=1 $

moltiplicando la prima per la seconda si ha che

$ \displaystyle \frac{A'B}{A'C}\cdot\frac{B'C}{B'A}\cdot\frac{C'A}{C'B}\cdot \frac{A''B}{A''C}\cdot\frac{B''C}{B''A}\cdot\frac{C''A}{C''B}=1 $

che è la tesi del teorema di Carnot, quindi i 6 punti giacciono su una conica

[Anér]

Esatto!

[Alex90]

Qui ci sta un grazie a Gabriel per le dispense

[Anér]

In effetti mancava l'intervento di Gabriel in geometria! Bravi entrambi!