falsi quadrati

[jordan]

Mostrare che se un primo $ p $ divide $ n^4-n^2+1 $ allora $ 12|p-1 $

[travelsga]

Se $ p|n^4-n^2+1 $ allora $ p|\frac {n^6+1}{n^2+1} $, $ p|n^6+1 $, ne segue $ n^6 \equiv -1 (mod p) $, dunque $ n^{12} \equiv 1 (mod p) $. Dimostro ora che $ ord_p(n)=12 $.
$ ord_p(n)|12 $ dalla relazione precedente, suddivido quindi i casi:
$ ord_p(n)=1 $, implica $ n^4-n^2+1\equiv 1 (mod p) $, assurdo.
$ ord_p(n)=2 $, da cui $ n^4-n^2+1\equiv 1 (mod p) $, assurdo.
$ ord_p(n)=3 $, ma $ (n^2)^3\equiv 1 (mod p) $ contro l'ipotesi $ n^6 \equiv -1 (mod p) $, assurdo.
$ ord_p(n)=4 $, da cui $ n^4\equiv 1 (mod p) $, $ (n^2-1)(n^2+1)\equiv 0 (mod p) $, ma $ (n^2+1,p)=1 $in quanto $ (n^4-n^2+1,n^2+1)=(n^2(n^2-2),n^2+1)=(n^2-2,n^2+1)=(n^2-2,3)=1 $, pertanto $ n^2-1\equiv 0 (mod p) $ assurdo in quanto si era supposto $ ord_p(n)=4 $.
$ ord_p(n)=6 $ implica $ n^6\equiv 1 (mod p) $, assurdo poichè $ n^6\equiv -1 (mod p) $
Deve essere $ ord_p(n)=12 $, ma $ ord_p(n)|p-1 $ da cui $ 12|p-1 $.
Spero di non aver commesso errori.

[Federiko]

per scrivere $ \pmod p $ in TeX puoi usare il codice \pmod p

[Reginald]

Esiste anche una dimostrazione per induzione?..perchè la sto cercando, ma con scarso successo finora..

[marcuz]

Cosa significa $ ord_p(n) $?

[EUCLA]

È il minimo intero $ x $ tale che $ n^{x}\equiv 1 \pmod{p} $.


@ Reginald: Non è molto plausibile che esista.. su cosa fai induzione? Su $ p $ non conviene mai, su $ n $ neanche in questo caso perchè non è detto che se vale per $ n $ l'ipotesi valga anche per $ n+1 $