AIME 1994

[Haile]

Si consideri la sequenza formata da tutti i multipli di 3 che sono pari ad un quadrato meno uno:

$ $3, 15, 24, 48,\dots$ $

Sia $ $ a_n $ $ l'$ $n\text{-esimo}$ $ termine della sequenza.

Si determini

$ $a_{1994} \pmod {1000}$ $

[Reginald]

$ a_{1994} $ è il 1995esimo quadrato -1(si parte da 3=4-1), se non contiamo i multipli di 3. Allora $ a_{1995} $ è il quadrato di2660 -1. Le ultime cifre sono 599 allora $ a_{199}\equiv 559\pmod {1000} $

Ho sbagliato qualcosa?

[Haile]

$ a_{1994} $ è il 1995esimo quadrato -1(si parte da 3=4-1), se non contiamo i multipli di 3. Allora $ a_{1995} $ è il quadrato di2660 -1. Le ultime cifre sono 599 allora $ a_{199}\equiv 559\pmod {1000} $

Ho sbagliato qualcosa?

$ $a_{1995}$ $ non è uguale a $ $2660^2 - 1$ $... ed in ogni caso non ho capito da dove salta fuori quel $ $2660$ $

Magari la strada è giusta (anche se il risultato non lo è)

Riusciresti a spiegarti meglio?

[Veluca]

se non ho fatto qualche errore per la strada
$ a_n= (2n- \lceil \frac n 2 \rceil +1)^2-1 $
quindi $ a_{1995}=2993^2-1 $
quindi, modulo 1000
$ (3000-7)^2-1\equiv3000²-14*3000+48\equiv 48 \pmod{1000} $

[Haile]

se non ho fatto qualche errore per la strada
$ a_n= (2n- \lceil \frac n 2 \rceil +1)^2-1 $
quindi $ a_{1995}=2993^2-1 $
quindi, modulo 1000
$ (3000-7)^2-1\equiv3000²-14*3000+48\equiv 48 \pmod{1000} $

Giusto!

Peccato che avessi chiesto $ $a_{1994} \pmod {1000}$ $

Comunque è la stessa cosa:

$ $a_{1994} = 2992^2 - 1 = (3000-8)^2 - 1 \equiv 063 \pmod {1000}$ $

Ora che ne diresti di giustificare la formula chiusa che hai trovato?

[Veluca]

comunque, credo che la formula possa essere scritta anche come
$ a_n=(n+\lfloor \frac n 2 \rfloor +1)^2-1 $.. $ \lfloor \frac n 2 \rfloor $ è il numero di coppie di numeri consecutivi presi finora, escludendo la corrente... ovvero è il numero di multipli di 3 saltati. quindi n+(numero di multipli di 3 saltati)+1 è l'ennesimo numero non multiplo di 3, saltando l'1
spero di non aver scritto eresie xD