Triangoli "prigionieri" (own)

[timath]

Sia dato un triangolo acutangolo ABC. Definiamo triangolo "prigioniero" ad ABC un qualsiasi triangolo equilatero che abbia un vertice sul segmento AB, uno su AC e uno su BC (estremi esclusi).
1) Cosruiamo i due triangoli prigionieri ad ABC aventi il primo un lato parallelo ad AB e il secondo un lato parallelo ad AC. Supponiamo che essi siano congruenti. Cosa si può concludere sui lati e gli angoli di ABC?
2) Trovare una costruzione con riga e compasso per disegnare i triangoli del punto 1.
3) Determinare il luogo dei centri di tutti i triangoli prigionieri ad ABC

Congettura: notato che il luogo dei punti è un segmento, la retta che lo contiene è perpendicolare alla retta di Eulero di ABC

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Congetture: -Ricostruiamo i triangoli prigionieri del punto 1, con anche il terzo avente un lato parallelo a BC. I centri di questi triagoli sono allineati.
-Chiamata r l'ipotetica retta per i tre centri, essa è perpendicolare alla retta di Eulero di ABC

Generalizzando è sempre vero che tre centri sono allineati. Inoltre il luogo dei centri è una retta perpendicolare alla retta di eulero.

Se vogliamo essere pignoli dato un punto interno a BC esistono 2 triangolo equilateri, uno con un vertice interno al lato AB e uno interno al lato AC e l'altro con un vertice sul prolungamento di AB e uno sul prolungamento di AC. Dunque il luogo dei centri sono due rette parallele anzi che una.

[timath]

Si ok, avevo già corretto... comunque vorrei delle dimostrazioni, non puntualizzazioni up!