Siano AM e BN altezze di un triangolo acutangolo ABC.I punti K e T sono rispettivamente sulle semirette MA e NB in modo tale che MK=MB e NT=NA.
1) Trovare quali condizioni sul triangolo ABC assicurano che i punti K e T siano distinti;
2) Nel caso in cui K e T sono distinti,dimostrare che KT è parallelo a MN.
Triangolo
Re: Triangolo
PUNTO 1)
chiamo X l'intersezione tra $ \overline{BN} $ e $ \overline{AM} $
se T e K coincidono, allora devono per forza trovarsi sul punto X, e si può dimostrare che i triangoli NXA e MXB sono isosceli e simili perchè:
$ \overline{NX}=\overline{NA} $
$ \overline{MX}=\overline{MB} $ per ipotesi
$ \widehat{N}=\widehat{M}=90° $
$ \widehat{NXA}=\widehat{MXB}=\widehat{\alpha} $ angoli opposti.
poichè sono triangoli isosceli allora
$ \widehat{NAX}=\widehat{MBX}=\widehat{\alpha} $
$ {\alpha}=45° $
e $ \widehat{NXM}=135° $ quindi $ \widehat{ACB}=45° $
quindi se $ \widehat{ACB}=45° $ allora T coincide con K, non mi preoccupo degli angoli A e B, perchè il triangolo è acutangolo e quindi avranno sempre un valore maggiore o uguale ad alpha..
$ {T}\neq{K}\Longleftrightarrow\widehat{ACB}=45° $
PUNTO 2)
$ \overline{T^{1}K^{1}}{//}{\overline{NM}}{//}\overline{T^{2}K^{2}} $
per Talete, le due rette $ \overline{AM} $ e $ \overline{BN} $ sono incidenti e
$ \overline{T^{1}N}=\overline{T^{2}N} $ per ipotesi sono $ =\overline{NA} $
$ \overline{K^{1}M}=\overline{K^{2}M} $ per ipotesi sono $ =\overline{MB} $
chiamo X l'intersezione tra $ \overline{BN} $ e $ \overline{AM} $
se T e K coincidono, allora devono per forza trovarsi sul punto X, e si può dimostrare che i triangoli NXA e MXB sono isosceli e simili perchè:
$ \overline{NX}=\overline{NA} $
$ \overline{MX}=\overline{MB} $ per ipotesi
$ \widehat{N}=\widehat{M}=90° $
$ \widehat{NXA}=\widehat{MXB}=\widehat{\alpha} $ angoli opposti.
poichè sono triangoli isosceli allora
$ \widehat{NAX}=\widehat{MBX}=\widehat{\alpha} $
$ {\alpha}=45° $
e $ \widehat{NXM}=135° $ quindi $ \widehat{ACB}=45° $
quindi se $ \widehat{ACB}=45° $ allora T coincide con K, non mi preoccupo degli angoli A e B, perchè il triangolo è acutangolo e quindi avranno sempre un valore maggiore o uguale ad alpha..
$ {T}\neq{K}\Longleftrightarrow\widehat{ACB}=45° $
PUNTO 2)
$ \overline{T^{1}K^{1}}{//}{\overline{NM}}{//}\overline{T^{2}K^{2}} $
per Talete, le due rette $ \overline{AM} $ e $ \overline{BN} $ sono incidenti e
$ \overline{T^{1}N}=\overline{T^{2}N} $ per ipotesi sono $ =\overline{NA} $
$ \overline{K^{1}M}=\overline{K^{2}M} $ per ipotesi sono $ =\overline{MB} $