Cina 2000

[mod_2]

Trovare tutti gli interi positivi $ $n$ $ tali che esistono degli interi $ $n_1,~n_2,~...,n_k~>3$ $ con $ $n=n_1n_2 \cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)(n_2-1) \cdots (n_k-1)}-1$ $.

[jordan]

Ogni $ n_i $ è dispari, per cui siano $ m_i:=\frac{n_i-1}{2}>1 $, per ogni $ i=1,2,\ldots,k $. La funzione $ f(\cdot): \mathbb{N}\setminus\{0,1\} \to \mathbb{Q}: x \to \frac{2^x-1}{2x+1} $ è strettamente crescente, $ f(2)=\frac{3}{5}<1=f(3)<f(4)=\frac{5}{3}<f(i), \forall i>4 $ e inoltre $ 2^{xy}-1>(2^x-1)(2^y+1) $(*). Esiste un indice $ 1 \le j \le k $ tale che $ m_j=2 $, infatti se non fosse così avremmo $ \displaystyle \frac{2^{\prod_{i=1}^k{m_i}}-1}{n}> \prod_{i=1}^k{f(m_i)} \ge 1 $; e di indici $ m_j=2 $ ce ne sono al massimo 2, altrimenti $ 2^{2^k}-1=t(2 \cdot 2 +1)^k $ sarebbe $ t>1 $ se $ k>2 $; inoltre $ t=\frac{3}{5} $ se $ k \in \{1,2\} $ per cui non esiste sicuramente alcun $ m_j>4 $. Con lo stesso ragionamente vediamo che possono esserci al massimo un $ m_j=3 $ e al massimo un $ m_j=4 $, e ovviamente non contemporaneamente per la (*). Bene, le sole possibilità per gli $ m_i $ sono $ \{2,3,4,(2,2),(2,3),(2,4),(2,2,3),(2,2,4)\} $. Possiamo quindi felicemente concludere che la sola soluzione è $ n=7 $.