Quanto vale (a-b)?

[gismondo]

$ a+\sqrt{2}b = \frac {(1+\sqrt2)^{13}} {(3+2\sqrt2)} $
essendo a e b interi quanto vale (a-b)?

[Alex90]

Anzitutto notiamo che $ \displaystyle (1+\sqrt2)^2= 3 + 2\sqrt2 $ da cui

$ a + \sqrt2 b= (1+\sqrt2)^{11} $ e quindi sviluppando la potenza:

$ \displaystyle (1+\sqrt2)^{11}=\sum_{i=0}^{11}{11 \choose i} \cdot 1^{11-i} {\sqrt 2}^{\, i} $$ =8119 + 5741\sqrt2 $

e quindi $ a-b = 2378 $

è giusto?