Combinatoria: scatole, oggetti

[gismondo]

Volevo alcuni chiarimenti riguardo questa formula:
$ {n+k-1\choose k} $
Il mio libro di matematica la utilizza per rispondere alla domanda:
"In quanti modi diversi possiamo disporre 3 oggetti in 4 scatole?" (credo che gli oggetti siano contrassegnati dalla variabile k)
Non ho capito come è giustificata questa formula e se considera gli oggetti o le scatole distinte...
Grazie

[Tibor Gallai]

Conta i modi in cui puoi sistemare n-1 separatori in mezzo a k oggetti.

[fph]

Volevo alcuni chiarimenti riguardo questa formula:
$ {n+k-1\choose k} $
Non ho capito come è giustificata questa formula e se considera gli oggetti o le scatole distinte...
Grazie

Oggetti uguali, scatole distinte. La giustificazione è quella che ha detto TG: hai un algoritmo con n+k-1 passi, ne scegli n-1 che siano "passa alla scatola successiva" e k che siano "metti un oggetto nella scatola che hai sotto gli occhi", e ognuna di queste scelte corrisponde a un modo di sistemare gli oggetti nelle scatole.

[gismondo]

Grazie per le risposte...
Se le scatole sono distinte e gli oggetti no allora si potrebbe pensare agli oggetti come "unità" e alle scatole come addendi di una somma...
Il numero da ottenere sarebbe n e il numero degli addendi k...
In questo modo si otterrebbe la formula

$ {n+k-1\choose{k-1}} $ che conta il numero di modi di scrivere n come somma di k interi (considerando l'ordine)
Vuol dire che le due formule si equivalgono?
Grazie, e scusatemi se vi sembrano domande sciocche

[Tibor Gallai]

Le formule non si equivalgono, perché in generale i due binomiali non sono uguali. Probabilmente devi fare attenzione alla distinzione tra addendi positivi e addendi non negativi (o a cosa chiami n e a cosa chiami k): i modi di mettere gli oggetti nelle scatole sono tanti quanti i modi di esprimere il loro numero come somma ordinata di addendi non negativi (tanti addendi quante scatole).