phi(x)=n!

[jordan]

Mostrare che per ogni intero $ n \in \mathbb{N} $, esiste $ x \in \mathbb{N}_0 $ tale che $ \varphi(x)=n! $.

Nb. $ (n+1)!=\displaystyle (n+1) \cdot n!,\forall n \in \mathbb{N} $, $ 0!=1 $, $ \mathbb{N}:=\mathbb{N}_0 \cup \{0\} $ e $ \varphi(x)=|\{y \in \mathbb{N}_0: (x,y)=1 \text{ e } x-y>0\}| $

Edit: @Giulius: si, era la costruzione della soluzione, va bien!

[exodd]

ci stai chiedendo di dimostrare che ogni fattoriale si può scrivere come prodotto di $ p_i-1 $ con tutti i p diversi tra loro? o c'è di più?

[Giulius]

Tra i numeri da $ 1 $ a $ n $ ci sono $ z $ numeri primi $ p_i $ e $ z $ numeri esprimibili come $ p_i-1 $, con $ p_i\leq n $. Gli altri $ n-2z $ numeri possono essere espressi come prodotto di potenze degli $ z $ primi (non saranno presenti altri primi oltre a quegli $ z $ perchè altrimenti il numero diverrebbe maggiore di $ n $).
Da cui per ottenere un numero la cui phi sia $ n! $ basta operare così:
prendere gli $ z-1 $ primi dispari $ p_i $,
prendere tutti gli $ z $ numeri $ p_i-1 $ (considerando ora $ 2=3-1 $ e $ 1=2-1 $),
scrivere i restanti numeri come prodotti di $ p_i^{a_i} $
ora moltiplicando tutte queste espressioni otteniamo un numero della forma $ \prod p_i^{(\sum{a_i})+1}(p_i-1) $ che è ovviamente uguale a $ n! $ e che corrisponde all'espressione della phi del numero $ x=\prod p_i^{(\sum{a_i})+2} $