x^29+y^209=z^2009

[jordan]

Own. Mostrare che esistono infiniti interi positivi $ (x,y,z) $ tali che $ \displaystyle x^{29}+y^{209}=z^{2009} $.

[mod_2]

Pongo
$ $x=2^{209k}$ $
$ $y=2^{29k}$ $
$ $z=2^{4m}$ $

Ottengo $ $(2^{209k})^{29}+(2^{29k})^{209}=2^{29 \cdot 209k+1}=(2^{4m})^{2009}=2^{4 \cdot 2009 m}$ $.
E quindi voglio che $ $8036m-6061k=1$ $. Siccome $ $(8036,6061)=1$ $ abbiamo infinite soluzioni.