radice del polinomio

[Maioc92]

questo è un problema che mi sta facendo impazzire, quindi lo posto:
dato il polinomio x^3+ax-a^3-29 con a positivo, trovare l'unica radice reale positiva al variare di a

[Luthorien]

Se può essere d'aiuto....
Se a=1, allora x=3 è soluzione..

[Thebear]

Comincio, ma mi areno in fretta...

Dette $ x_1, x_2, x_3 $ le tre soluzioni in C, si ha:
$ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = a^3+29 $
$ x_1+x_2+x_3=0 $
$ x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3 = a $

Queste relazioni si possono trovare scomponendo il polinomio in $ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $.
Per ottenere una somma delle radici pari a zero, le due soluzioni complesse dovranno essere coniugate, mentre le parti reali sommate alla radice reale devono dare zero. Quindi se t è la parte reale di $ x_1 $ e $ x_2 $ si avrà: $ 2t+x_3=0 $ (qui ho supposto, wlog, che la radice reale sia x_3).

Per quanto riguarda il prodotto, se u è il coefficiente dell'unità immaginaria i, si ha: $ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3=(t+iu)(t-iu)(x_3)=(t^2+u^2)x_3 $.

A questo punto ricordando che $ t^2+u^2={x_3}^2 $ (rappresentazione sul Piano di Gauss: le tre soluzioni devono avere uguale modulo, essendo le loro distanze dall'origine raggi di una stessa circonferenza), ottengo $ {x_3}^3= x_1 x_2 x_3 $, cioè $ x_3=rad. cubica(a^3+29) $ ma qua mi sa che c'è qualcosa che non va... Chi mi trova l'errore?

[exodd]

x_3=rad. cubica(a^3+29)

Se a=1, allora x=3 è soluzione

[SkZ]

[...]
A questo punto ricordando che $ t^2+u^2={x_3}^2 $ (rappresentazione sul Piano di Gauss: le tre soluzioni devono avere uguale modulo, essendo le loro distanze dall'origine raggi di una stessa circonferenza), ottengo $ {x_3}^3= x_1 x_2 x_3 $, cioè $ x_3=rad. cubica(a^3+29) $ ma qua mi sa che c'è qualcosa che non va... Chi mi trova l'errore?

Sicuro che siano equidistanti dall'origine?
se $ ~x_3=-2\Re{(x_1)} $ allora $ ~\Im{(x_1)}=\sqrt{3}\Re{(x_1)} $
ma $ ~(\Im{(x_1)})^2-{3}(\Re{(x_1)})^2=a=0 $
infatti $ ~x^3=a^3+29 $ solo se $ ~a=0 $, ma non e' possibile

alcune ovvie restrizioni alla sol (per controllo)
$ ~x^3+ax-a^3-29=(x^3-a^3)+(ax-29)=(x^3-29)+a(x-a^2)=0 $
sol sono
$ ~x=a=\sqrt{29} $
$ ~x=a^2=\sqrt[3]{29} $ (NdR: radice n-esima \sqrt[n]{} )

Cmq l'idea ala base da usare e' quella per risolvere un'equazione di terzo grado appunto
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... risolutivo
$ $x=\xi-\frac{a}{3\xi} $

[Thebear]

[...]
Cmq l'idea ala base da usare e' quella per risolvere un'equazione di terzo grado appunto
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... risolutivo
$ $x=\xi-\frac{a}{3\xi} $

Mi vergogno per le eresie che ho scritto, tuttavia speravo si potesse fare a meno di usare Cardano...

[Maioc92]

speravo si potesse fare a meno di usare Cardano...

a dire il vero anch'io.....sapevo che esisteva un metodo per risolvere le equazioni di 3 grado ma credevo si potesse risolvere anche in altro modo. Vabbè a quanto pare non si può ma almeno mi sono tolto il dubbio!!!!!

[SkZ]

piu' semplice di cardano penso sia difficile