quattro interi positivi con prodotto 8!

[jordan]

Quattro interi positivi $ a, b, c,d $ soddisfano:
$ abcd=8! $,
$ ab + a + b = 524 $,
$ bc + b + c = 146 $,
$ cd + c + d = 104. $

Quanto vale $ a-d $?

[Gebegb]

10.

[HarryPotter]

10.

Grazie per l'informazione... ma ti ricordo che siamo sul forum delle Olimpiadi della Matematica. Una soluzione senza dimostrazione, vale 0. Quindi cerca di motivare il tuo 10 con considerazioni e passaggi, se si tratta di un problema alla tua portata, oppure, se il problema è troppo più facile del tuo attuale livello di solutore (cioè se per risolverlo hai impiegato meno di 5 minuti), lascialo a chi deve ancora imparare.

Grazie!

[Enrico Leon]

Non riesco a capire perché la richiesta non sia semplicemente "risolvere il sistema"...

[sasha™]

Non riesco a capire perché la richiesta non sia semplicemente "risolvere il sistema"...

Perché presumo ci sia un modo molto più semplice che risolvere il sistema per avere il risultato. Per lo meno, io ho provato a risolverlo, solo che una volta arrivato a polinomi di grado 4 con coefficienti a sei cifre, mi sono un po' bloccato.

[sasha™]

Dunque, 8! in fattori è: 2⁷ x 3² x 5 x 7, che quindi sono i fattori di a, b, c, d.

ab + a + b = 524; a(b + 1) = 524 - b. Poniamola come Diofantea. Una soluzione è (20, 24). Tutti i fattori sono contenuti in 8!, quindi è accettabile. (2²x5, 2³x3)

bc + b + c = 146. Con b = 20 abbiamo 21c = 126; c = 6 (2x3). Con b = 24, 25c = 122, che non ha soluzioni in N.
b = 20 ⇒ a = 24.

cd + c + d = 104. Con c = 6 abbiamo 7d = 98; d = 14 (2x7).

abcd = 8! è vera per i valori (24, 20, 6, 14).

a - d = 10.

L'unica cosa che resta da stabilire, è se è l'unica soluzione. Ora ci provo. Lo so che non si può andare a tentativi, ma dopo un pomeriggio passato a ragionarci su senza raccapezzarci più niente, mi era rimasta solo questa alternativa.

[Maioc92]

io uno pseudo metodo l'ho trovato, ma è più TdN che algebra....
Comunque ecco cosa ho pensato:
per considerazioni sulla parità di a,b,c,d troviamo che sono tutti pari.
Quindi possiamo riscrivere il sistema ponendo a=2a',b=2b',c=2c',d=2d'
l'ultima equazione diventa 2c'd'+c'+d'=52.
c'+d' deve essere pari, quindi possiamo scrivere c' e d' come x+y e x-y
svolgiamo i calcoli e diventa x^2+x-y^2-26=0. x e y sono interi quindi il discriminante deve essere un quadrato perfetto:
105+4y^2=k^2, ovvero (x+2y)(x-2y)=105
questa equazione ha un numero finito di soluzioni intere, quindi da qui puoi partire a risolvere tutto il resto seguendo più o meno il procedimento di sasha.
Purtroppo per ora non sono riuscito a fare di meglio.....
se qualcuno ha un metodo migliore (cosa molto probabile) lo può postare?