Allora dato un polinomio P(x) monico a coefficienti interi di secondo grado t.c.
$ P(a)=0\wedge P(b)=1\wedge (a,b)\subset\mathbb{Z}^2 $
Dimostrare:
1) $ P(c)\not=2\ \ \forall{c\subset\mathbb{Z}} $
2) $ P(x)=(x-a)^2\ \ \forall{x\subset\mathbb{Z}} $
3) È sempre possibile trovare un polinomio P(x) monico a coefficienti interi di grado k t.c.
$ P(a_0)=0\wedge P(a_1)=1\wedge P(a_2)=2....P(a_{k-1})=k-1\ \ \wedge \ \ (a_0,a_1...a_{k-1})\subset\mathbb{Z}^k $
Dei primi 2 punti sono sicuri... del terzo è plausibile sia una cazzata... se lo è dimostratelo ;)
Polinomi a coefficienti interi
provo con i primi 2 punti:
un polinomio di 2 grado monico è del tipo x^2+kx+t
Mettiamo a sistema quindi a^2+ka+t=0 e b^2+kb+t=1.
Per riduzione otteniamo a^2-b^2+ka-kb=-1 ovvero (a-b)(a+b+k)=-1
Poichè a,b e k sono interi sia a-b che a+b+k sono interi, pertanto le uniche possibilità sono a-b=1 e a-b=-1. Quindi b=a-1 o b=a+1. Sostituiamo il valore di b nell'equazione precedente e sempre per riduzione otteniamo in entrambi i casi
k=-2a e t=a^2. Quindi il polinomio è x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
Quindi è chiaro che se fosse P(c)=2 dovrebbe essere c-a=+-radice di 2, ma sia c che a sono interi pertanto questo è assurdo.
Scusate per come scrivo ma ancora non ho studiato il latex perdonatemi
un polinomio di 2 grado monico è del tipo x^2+kx+t
Mettiamo a sistema quindi a^2+ka+t=0 e b^2+kb+t=1.
Per riduzione otteniamo a^2-b^2+ka-kb=-1 ovvero (a-b)(a+b+k)=-1
Poichè a,b e k sono interi sia a-b che a+b+k sono interi, pertanto le uniche possibilità sono a-b=1 e a-b=-1. Quindi b=a-1 o b=a+1. Sostituiamo il valore di b nell'equazione precedente e sempre per riduzione otteniamo in entrambi i casi
k=-2a e t=a^2. Quindi il polinomio è x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
Quindi è chiaro che se fosse P(c)=2 dovrebbe essere c-a=+-radice di 2, ma sia c che a sono interi pertanto questo è assurdo.
Scusate per come scrivo ma ancora non ho studiato il latex perdonatemi
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!