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Siano $ p $, $ a $ e $ b $ tre rette non concorrenti. Sia $ P $ un punto di $ p $, $ A $ la proiezione ortogonale di $ P $ su $ a $ e $ B $ la proiezione di $ P $ su $ b $. Sia infine $ M $ il punto medio di $ AB $. Dimostrare che il luogo di $ M $ al variare di $ P\in p $ è una retta.

Fissiamo il piano cartesiano con l'asse x coincidente con a. Se P ha coordinate $ (x_0,mx_0+q) $ e b ha equazione $ y=nx+r $ possiamo trovare le coordinate di A e B in funzione di $ x_0 $, che saranno $ A(x_0,0) $ e $ B(cx_0+d, ncx_0+nd+r) $ per certi c e d con $ c\neq 0 $ . Quindi $ M(ex_0+f, gx_0+h) $ con e e g non nulli, e allora si ha sempre che
$ \displaystyle y_m=\frac{g}{e}x_m+h-\frac{gf}{e} \Rightarrow y_m=Mx_m+Q $