cifra mancante di 2^29

[jordan]

Sapendo che $ 2^{29} $ ha $ 9 $ cifre distinte, qual è la cifra che manca?

ps1. le cifre sono $ 10 $
ps2. senza calcolatrice please.

[iademarco]

ps2. senza calcolatrice please.

E se lo facessimo a mano?

[drago90]

se rispondere a caso talvolta è lecito mi verrebbe 7...tutto sommato ho il 10 % di possibilità no???

[Iuppiter]

Può essere che venga 4?

Il procedimento lo posto dopo per mancanza di tempo...

[Maioc92]

io lo scriverei come $ 2*(2^7)^4=2*128^4=2*16384^2 $. A questo punto si fa il calcolo.....dopotutto non è un crimine fare 2 calcoli.....

[jordan]

Il procedimento lo posto dopo per mancanza di tempo...

A questo punto si fa il calcolo.....dopotutto non è un crimine fare 2 calcoli.....

E io che l'ho postato a fare?

[Iuppiter]

No...non ci siamo capiti bene.

Allora...io ho letto l'esercizio, poi ho detto “Perchè non lo posta in teoria dei numeri?”
Poi ho lasciato perdere questa domanda e l'ho fatto come se fosse un esercizo serio, ma visto che mi confusionava il PS1, ho lasciato perdere questa informazione.
E ho fatto l'esercizio (senza svolgere i conti ma facendo ragionamenti), e mi è venuto 4, ma non ho subito controllato se il risultato era giusto. Poi vado a fare allenamento e penso: "Ma noooo...le cifre erano 10...allora ho sicuro sbagliato." Poi torno a casa e mi riconnetto. Leggo che Jordan non ha scritto che era sbagliato. Allora mi insospettisco, faccio col computer $ 2^{29} $ e vedo che è proprio 4!

E LE CIFRE NON SONO 10, MA 9!!!

A questo punto chiedo: “Ma è un esercizio serio o bisognava solo fare i calcoli?”
Cioè, il mio ragionamento è giusto solo per coincidenza, o c’è un ragionamento dietro tutto?

[Jacobi]

E LE CIFRE NON SONO 10, MA 9!!!

nn direi proprio!! conta quanti sono i numeri da 0 a 9
quello che intendeva dire jordan nel ps1 era che le cifre esistenti sono 10 , solo per puntualizzare, poiche aveva detto prima ke le cifre di $ 2^{29} $ erano 9 (uno x mancanza di attenzione potrebbe dimenticarsi dello 0)

cmq l'esercizio presume sicuramente di sporcarsi un po le mani, anche se nn esageratamente. posta il tuo ragionamento cosi possiamo dire se e giusta per coincidenza o perche hai risolto l'esercizio

[jordan]

Cioè, il mio ragionamento è giusto solo per coincidenza, o c’è un ragionamento dietro tutto?

Si si, avete ragione tutti e due
comunque sentiamo come hai fatto..

[Iuppiter]

quello che intendeva dire jordan nel ps1 era che le cifre esistenti sono 10 , solo per puntualizzare, poiche aveva detto prima ke le cifre di $ 2^{29} $ erano 9 (uno x mancanza di attenzione potrebbe dimenticarsi dello 0)

Ah...ok avevo capito male io...

Allora...il mio è un ragionamento di fino.
Infatti dopo un po' di idee di passaggio ho detto: "vediamo quanto vale la somma delle cifre di $ 2^n $ modulo 9". E ho ottenuto:

2 ==> 2
4 ==> 4
8 ==> 8
16 ==> 7
32 ==> 5
64 ==> 1
128 ==> 2
256 ==> 4

A questo punto si vede che salta fuori la successione 2,4,8,7,5,1 che si ripete.
Con due conti vediamo che la somma delle cifre di $ 2^{29} $ = 5

Se nel numero abbiamo 9 cifre tutte diverse, allora la somma di queste cifre può essere un numero compreso tra 36 e 45.

L' unico numero tra 36 e 45 che modulo 9 dà resto 5 é 41.

Quindi la somma delle cifre di $ 2^{29} $ è 41.

E se 41 è la somma di numeri tutti diversi compresi tra 0 e 9, è evidente che manca la cifra 4.

[jordan]

Molto bene !

[Iuppiter]

Grazie...

[Jacobi]

uau congratulazioni, davvero una bella soluzione!! e nn ti sei neanke sporcato le mani!!

[Enrico Leon]

Uno dei più bei problemi che abbia mai visto... Chi l'ha inventato?

[jordan]

Se hai un po alla mano i problemi con la somma delle cifre il fatto che 9|n-s(n) è una delle prime cose.. comunque mi fa piacere che vi sia piaciuto (non sono stato io a inventarlo )