Dubbio sul riarrangiamento

[GioacchinoA]

Ho un dubbio sul riarrangiamento...
Svolgendo un esercizio mi trovo di fronte a questo
$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} $
Con $ a,b,c $ reali positivi
Allora posso dire che $ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geq a+b+c $?
Le due $ n $-uple sono $ (a^2,b^2,c^2) $ e $ (\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}) $.
Le seconde sono ordinate inversamente alle prime allora l'accoppiamento che fa il minimo è $ \dfrac{a^2}{a}+\dfrac{b^2}{b}+\dfrac{c^2}{c} = a+b+c $
E' lecito?
Grazie a colo che mi risponderanno

[Maioc92]

direi proprio di si.....gobbino in un video fa praticamente la stessa cosa

[Alex90]

Una cosa per volta...anzitutto dato che la disequazione è omogena puoi supporre senza perdita di generalità che $ \displaystyle a \geq b \geq c $ da cui ottieni, dato che $ \displaystyle a,b,c \in \mathbb{R^+} $ le due n-uple

$ \displaystyle a^2 \geq b^2 \geq c^2 $ e $ \displaystyle \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{c} $

Da questo per la disuguaglianza di riarrangiamento sulle due n-uple puoi concludere.

[Tibor Gallai]

dato che la disequazione è omogena puoi supporre senza perdita di generalità che $ \displaystyle a \geq b \geq c $

Premessa e conclusione vere, quindi esiste un'implicazione logica tra le due. Tecnicamente impeccabile.