Sistema.

[WiZaRd]

Chi mi spiega come risolvere questo sistema?

$ \begin{cases} x^{x+y}=y^{a}\\ y^{x+y}=x^{4a}\\ \end{cases} $

con la condizione $ a \in \mathbb{R}^{+} $.

Non so se è un esercizio super mongoloide o super complicato perché non so dove mettere le mani. Per la cronaca, viene da un syllabus di non so che cosa.

[stefanos]

Eleva ogni membro della prima equazione alla potenza x+y: sostituisci il RHS usando la seconda equazione, e uguaglia gli esponenti; ti dovrebbe venire x+y=+-2a.
A questo punto la prima equazione diventa $ $x^{\pm 2a}=y^a$ $, quindi $ $x^{\pm 2}=y$ $ o a=0, che è un caso poco interessante. Quindi ancora la prima equazione può essere scritta come $ $x^{x+x^{\pm 2}}=y^a=x^{\pm 2a}$ $, cioè esclusi i casi patologici $ $x+x^{\pm 2}=\pm 2a$ $, che si risolve suppongo, modulo errori in tutto ciò che ho scritto. Spero di esserti stato d'aiuto!

[WiZaRd]

Eleva ogni membro della prima equazione alla potenza x+y

E questo passaggio si può fare senza problemi? Cioè, voglio dire, non è che altera l'insieme della soluzioni dell'equazione? E' lecito perché? Per l'iniettività della funzione esponenziale?

[SkZ]

condizione ovvia aggiuntiva e' $ ~x,y\in\mathbb{R}^+ $ dato che compaiono come basi di elevamenti a potenza, ergo $ ~x+y\neq0 $, quindi si puo' elevare a $ ~x+y $ "senza" porre restrizioni (cmq e' sempre meglio esplicarlo, altrimenti sembra che ce ne sia dimenticati )

l'esponenziale si puo' applicare ad una equazione senza restrizioni perche' iniettiva (e vuole basi positive).
L'elevamento a potenza invece va usato con cautela se l'indice e' pari e l'argomento e' negativo.

nelel diseguaglianze invece va anche considerata anche la monotonia

[WiZaRd]

OK. Chiarissimo.