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propongo ai meno esperti di dimostrare una disuguaglianza abbastanza famosa e utilizzata frequentemente:

$ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)^2 $

per ogni $ 2n $-upla $ (a_1,a_2,a_3,.....a_n,b_1,b_2,b_3,.....b_n) \in \mathbb{R}^{2n} $ ($ n \in \mathbb{N}^+ $)


(Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)

con caso di uguaglianza sse
$ a_i=c*b_i $ per ogni $ \displaystile{i} $ compresa tra $ \displaystile{1} $ e $ \displaystile{n} $ e con $ \displaystile{c} $ reale

il gobbino propone ben 4.5 dimostrazioni di questa disuguaglianza

Maioc92 ha scritto:il gobbino propone ben 4.5 dimostrazioni di questa disuguaglianza

Allora ci provino quelli che non le hanno lette...

io non l'ho mai letta quindi ci provo.allora...
il prodotto di sinistra ci da una somma del tipo:
$ a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+...+a_n^2b_n^2+a_i^2b_j^2 $ con i diverso da j e i,j compresi fra 1 ed n.a sinistra si ottiene:
$ a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+...+a_n^2b_n^2+2a_kb_ka_lb_l $ con k,l compresi fra 1 ed n e k diverso da l. quindi possiamo semplificare i quadrati presenti secondo membro,portare a sinistra il tutto,e si ottiene una serie di somme de tipo:
$ (a_nb_m-a_mb_n)^2 $per ogni n diverso da m. quindi una somma di quadrati è sempre positiva.in particolare è uguale a zero se $ a_i=b_i $ per ogni i compreso fra 1 ed n. non ne sono sicuro...va bene??come dovrei metterla giù perchè si possa giudicare decente?

didudo ha scritto:come dovrei metterla giù perchè si possa giudicare decente?

Io direi che è già decente:si capiscono tutti i passaggi...se proprio vuoi migliorare l'aspetto del tuo messaggio potresti metterci le sommatorie
Esempio:$ a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+...+a_n^2b_n^2=\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 $

didudo ha scritto:in particolare è uguale a zero se $ a_i=b_i $ per ogni i compreso fra 1 ed n.

A dire il vero, $ b_i=\lambda\cdot a_i\ \ \forall i\in[1,n] $.