Cauchy-Schwarz

[spugna]

propongo ai meno esperti di dimostrare una disuguaglianza abbastanza famosa e utilizzata frequentemente:

$ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)^2 $

per ogni $ 2n $-upla $ (a_1,a_2,a_3,.....a_n,b_1,b_2,b_3,.....b_n) \in \mathbb{R}^{2n} $ ($ n \in \mathbb{N}^+ $)


(Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)

[exodd]

con caso di uguaglianza sse
$ a_i=c*b_i $ per ogni $ \displaystile{i} $ compresa tra $ \displaystile{1} $ e $ \displaystile{n} $ e con $ \displaystile{c} $ reale

[Maioc92]

il gobbino propone ben 4.5 dimostrazioni di questa disuguaglianza

[spugna]

il gobbino propone ben 4.5 dimostrazioni di questa disuguaglianza

Allora ci provino quelli che non le hanno lette...

[didudo]

io non l'ho mai letta quindi ci provo.allora...
il prodotto di sinistra ci da una somma del tipo:
$ a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+...+a_n^2b_n^2+a_i^2b_j^2 $ con i diverso da j e i,j compresi fra 1 ed n.a sinistra si ottiene:
$ a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+...+a_n^2b_n^2+2a_kb_ka_lb_l $ con k,l compresi fra 1 ed n e k diverso da l. quindi possiamo semplificare i quadrati presenti secondo membro,portare a sinistra il tutto,e si ottiene una serie di somme de tipo:
$ (a_nb_m-a_mb_n)^2 $per ogni n diverso da m. quindi una somma di quadrati è sempre positiva.in particolare è uguale a zero se $ a_i=b_i $ per ogni i compreso fra 1 ed n. non ne sono sicuro...va bene??come dovrei metterla giù perchè si possa giudicare decente?

[spugna]

come dovrei metterla giù perchè si possa giudicare decente?

Io direi che è già decente:si capiscono tutti i passaggi...se proprio vuoi migliorare l'aspetto del tuo messaggio potresti metterci le sommatorie
Esempio:$ a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+...+a_n^2b_n^2=\sum_{i=1}^n a_i^2b_i^2 $

[FeddyStra]

in particolare è uguale a zero se $ a_i=b_i $ per ogni i compreso fra 1 ed n.

A dire il vero, $ b_i=\lambda\cdot a_i\ \ \forall i\in[1,n] $.