Somma di binomiali

[Thebear]

Calcolare la somma
$ \displaystyle \binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\binom{n}{3} \ldots \pm \binom{n}{n} $
dove al fondo c'è il + se n è pari e il - se n è dispari.

[Enrico Leon]

Uhm, per $ n=0 $ viene ovviamente $ 1 $, per i valori successivi viene sempre $ 0 $...

[Thebear]

EDIT: Autocensura

[jordan]

Ad occhio e croce è sbagliato... Prova ad esempio per n=8

[Thebear]

Perchè quelle faccine jordan?

[Alex90]

Uhm, per $ n=0 $ viene ovviamente $ 1 $, per i valori successivi viene sempre $ 0 $...

per valori dispari di n viene 0

[Thebear]

Si, ok, ma per i pari?

[Enrico Leon]

Per $ n=8 $ viene $ 1-8+28-56+70-56+28-8+1=0 $. Ho sbagliato qualcosa?

[Thebear]

Sembrerebbe di no. In realtà mi ero fermato ai binomiali e non avevo sviluppato. Ho visto che non si elidevano e ho pensato che non facesse zero. Errore mio Comunque c'è un modo per dimostrare tutto questo?

[Thebear]

Ragazzi, scusate. Dev'essere la stanchezza dopo una giornata sui problemi per il senior. Francutio mi ha appena fatto notare che esiste una dimostrazione (anche abbastanza elementare) - che gli chiedo di postare -. Chiedo ancora scusa a Enrico Leon e a tutti per il problema banale.

[Enrico Leon]

Ho trovato questo, immaginavo c'entrasse l'induzione e non avevo voglia di fare conti (che tra l'altro qui non ci sono):
http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient
Formula 12

[Francutio]

Ragazzi, scusate. Dev'essere la stanchezza dopo una giornata sui problemi per il senior. Francutio mi ha appena fatto notare che esiste una dimostrazione (anche abbastanza elementare) - che gli chiedo di postare -. Chiedo ancora scusa a Enrico Leon e a tutti per il problema banale.

Uff, l'hai fatto apposta, perchè lo sai quanto dimostro male...

Prendo la riga n-esima del triangolo di tartaglia.
In valore assoluto i membri di quella riga hanno i valori del nostro problema.
La somma dei valori dell' n-esima riga è doppia rispetto a quella della riga (n-1)-esima.

Considerando che ogni membro della riga (n-1)-esima "confluisce" in due membri della riga sottostante, di segno discorde, la somma sarà per forza 0.

[jordan]

Perchè mettere sta marea di post x dire che (1-1)^n fa 0

[SkZ]

ecco, questa dicesi dimostrazione lapidaria.
Perche' rischi la lapidazione dopo tutto sto ambaradan.

[Tibor Gallai]

Sarà meglio imparare 'ste cose, prima di andare al Senior.