OliForum Matematico

Calcolare la somma
$ \displaystyle \binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\binom{n}{3} \ldots \pm \binom{n}{n} $
dove al fondo c'è il + se n è pari e il - se n è dispari.

Uhm, per $ n=0 $ viene ovviamente $ 1 $, per i valori successivi viene sempre $ 0 $...

EDIT: Autocensura

Thebear ha scritto:Ad occhio e croce è sbagliato... Prova ad esempio per n=8

Perchè quelle faccine jordan?

Enrico Leon ha scritto:Uhm, per $ n=0 $ viene ovviamente $ 1 $, per i valori successivi viene sempre $ 0 $...

per valori dispari di n viene 0

Si, ok, ma per i pari?

Per $ n=8 $ viene $ 1-8+28-56+70-56+28-8+1=0 $. Ho sbagliato qualcosa?

Sembrerebbe di no. In realtà mi ero fermato ai binomiali e non avevo sviluppato. Ho visto che non si elidevano e ho pensato che non facesse zero. Errore mio Comunque c'è un modo per dimostrare tutto questo?

Ragazzi, scusate. Dev'essere la stanchezza dopo una giornata sui problemi per il senior. Francutio mi ha appena fatto notare che esiste una dimostrazione (anche abbastanza elementare) - che gli chiedo di postare -. Chiedo ancora scusa a Enrico Leon e a tutti per il problema banale.

Ho trovato questo, immaginavo c'entrasse l'induzione e non avevo voglia di fare conti (che tra l'altro qui non ci sono):
http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient
Formula 12

Thebear ha scritto:Ragazzi, scusate. Dev'essere la stanchezza dopo una giornata sui problemi per il senior. Francutio mi ha appena fatto notare che esiste una dimostrazione (anche abbastanza elementare) - che gli chiedo di postare -. Chiedo ancora scusa a Enrico Leon e a tutti per il problema banale.

Uff, l'hai fatto apposta, perchè lo sai quanto dimostro male...

Prendo la riga n-esima del triangolo di tartaglia.
In valore assoluto i membri di quella riga hanno i valori del nostro problema.
La somma dei valori dell' n-esima riga è doppia rispetto a quella della riga (n-1)-esima.

Considerando che ogni membro della riga (n-1)-esima "confluisce" in due membri della riga sottostante, di segno discorde, la somma sarà per forza 0.

Perchè mettere sta marea di post x dire che (1-1)^n fa 0

ecco, questa dicesi dimostrazione lapidaria.
Perche' rischi la lapidazione dopo tutto sto ambaradan.

Sarà meglio imparare 'ste cose, prima di andare al Senior.