OliForum Matematico

1- Mostrare che se un primo p>2 è esprimibile come somma di quadrati di due interi allora 4|p-1.

2- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile come somma di due quadrati.

3- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile in modo unico come somma di due quadrati.

4- Dato p>2 primo tale che 4|p-1 siano a un residuo quadratico modulo p e b un residuo non quadratico.
Mostrare che $ \displaystyle (\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+ax}{p} \right)}| )^2+(\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+bx}{p} \right)}| )^2=p $


Nb. Qui il simbolo $ (\frac{a}{p}) $ denota il simbolo di Legendre
Edit: modificato il testo ai punti 2 e 3..

jordan ha scritto: 1- Mostrare che se un primo p è esprimibile come somma di quadrati di due interi allora 4|p-1.

$ \displaystyle a^2 + b^2 = p $

a e b sono diversi e quindi p è necessariamente dispari. Allora uno solo tra a e b deve essere dispari, supponiamo che questo sia b.

$ \displaystyle a^2 + b^2 - 1 = p - 1 = a^2 + (b-1) (b+1) $

$ \displaystyle a^2 $ è divisibile per 4 e almeno uno tra $ \displaystyle (b-1) $ e $ \displaystyle (b+1) $ anche, quindi $ \displaystyle 4 | p - 1 $

Ok alla prima. Ah dimenticavo, p>2.

jordan ha scritto: Mostrare che $ \displaystyle (\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+ax}{p} \right)}| )^2+(\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+bx}{p} \right)}| )^2=p $

ma perche hai messo il valore assloluto dentro al quadrato? forse il valore assoluto era da intendere applicato ai singoli elementi della somma??

Era per evidenziare che ciò scritto nelle due parentesi tonde stavano a indicare i due (soli) interi positivi che soddisfano la 3)..

ah ok!

Ma per il 2) e il 3) sono sempre due quadrati? Sennò faccio 1+1+1+1+...

Enrico Leon ha scritto:Ma per il 2) e il 3) sono sempre due quadrati? Sennò faccio 1+1+1+1+...

Credo che ti sia già risposto da solo

jordan ha scritto: 2- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile come somma di due quadrati.

Allora, è da un po' che ci provo; l'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è che esistono "un po'" di quadrati di numeri minori di p, tali che la loro somma è un multiplo di p (usando il piccolo teorema di fermat); questa è una buona strada? Si potrebbe avere qualche hint? Grazie mille!

Pairo ha scritto:... l'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è che esistono "un po'" di quadrati di numeri minori di p, tali che la loro somma è un multiplo di p (usando il piccolo teorema di fermat); questa è una buona strada? Si potrebbe avere qualche hint? Grazie mille!

La strada di solito utilizzata è quella di mostrare che p=4k+1 è composto in $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]..
Si potrebbe concludere anche dal tuo metodo mostrando che esiste una somma di quadrati multipla di p e minore di 2p..
Hint (per un terza possibile strada): considera i numeri $ 1^{4k}, 2^{4k},\ldots,(4k)^{4k} $, quanto vale il resto mod p? Per cui se scegliamo tutte le differenze consecutive..?

Vediamo...
Prendiamo $ xz \equiv y \pmod p $
$ x^2z^2 \equiv y^2 $
$ -x^2 \equiv y^2 $(Teorema 1)
$ x^2+y^2=cp $
$ 2p>cp $ (Thue)
$ 2>c $
$ $c=1 $
Segue la tesi.

Teorema 1: se $ 4|p-1 $ allora $ z^2 \equiv -1 \pmod p $ si può risolvere.
Teorema di Thue: la congruenza $ xz \equiv y \pmod n $ con $ $n $ intero positivo NON quadrato perfetto ammette soluzioni NON nulle $ |x|<\sqrt{n} $ e $ |y|<\sqrt{n} $

Alla TG: dimostralo

Scusa non capisco
Devo dimostrare i teoremi? Con c=1 abbiamo $ x^2+y^2=cp \Rightarrow x^2+y^2=(1)p=p $

gismondo ha scritto:Scusa non capisco
Devo dimostrare i teoremi?

Credo intendesse che, in campo olimpico, se usi il Teorema di Thue lo dovresti saper dimostrare (cosa in questo caso non impossibile).

Ah proposito: anche io ho sbattuto la testa per un po' sul punto 2 senza ricavarne nulla.

ndp15 ha scritto: Ah proposito: anche io ho sbattuto la testa per un po' sul punto 2 senza ricavarne nulla.

Idem. Domanda:

Se dimostrassi che un intero di forma 4k+1 è esprimibile come somma di 2 quadrati sse è primo o multiplo di 5... avrei provato anche che tutti i primi di tale forma lo sono?