luogo fortunato own

[exodd]

sia ABC un triangolo equilatero inscritto ad una cirocnferenza. Sia P un punto sulla crf.
Si costruisca il triangolo pedale del punto P riferito al triangolo ortico di ABC. Si dimostri che il luogo del baricentro del triangolo pedale al variare di P sulla crf circoscritta coincide con la crf inscritta ad ABC.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

generalizzazione: sia ABC un triangolo equilatero con centro O e sia $ \Gamma $ una crf e P un punto su $ \Gamma $. Allora il luogo dei baricentri del triangolo pedale di P rispetto a ABC è una crf che si ottiene da $ \Gamma $ con una omotetia di centro O e fattore 1/2.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Lemma: sia ABC un triangolo con l'angolo in A di 60°. la perpendicolare da B a AB incontra la perpendicolare da C a AC in E. Sia ora r la bisettrice di $ \angle BAC $ e t la parallela a r da E. Allora il punto medio M del lato BC dista da t 3 volte di quanto dista da r.
Dimostrazione: sia $ \Gamma $ la crf circoscritta a ABC di centro O, allora $ E \in \Gamma $ e definiamo $ N: r \cap \Gamma $ e $ L: t \cap \Gamma $. Allora essendo A,O,E allineati e r e t parallele. ANEL è un rettangolo quindi L,O,M,N sono allineati e inoltre NM=OM quindi LM=3MN.

Dimostrazione generalizzazione:
La pependicore da P a BC,CA,AB incontra BA,CA,AB in D,E,F mentre M è il punto medio di BC. Sia M' il punro medio di EF e sia $ X: DM' \cap AM $. Allora per il Lemma DM'=3M'X o anche DM' = 3/4 DX. Chiamiamo G il baricentro di DEF che come noto divide DM' in due parti tali che DG'=2 G'M'. Allora abbiamo che DG' = 2/3 DM' = 1/2 DX. Quindi G' è equidistante da PD e AM, quindi PG'=G'O. Quindi una omotetia di centro O e fattore 1/2 manda P in G' quindi quando P si sposta su una crf, G' si sposta sulla sua omotetica.