A noi ci piace \pi(n) [self-owned]

[julio14]

Trovare per quali $ $n\in\mathbb{N} $ vale, per qualunque $ $k\in\mathbb{N} $

$ $\pi(n)\ge \pi(k+n)-\pi(k) $

dove $ $\pi(n) $ è la funzione enumerativa dei primi

edit: versione originaria, più debole ma non so se più facile:

$ $\pi(n)\ge \pi((k+1)n)-\pi(kn) $

(p.s. al momento che io sappia non ha soluzione)

[dario2994]

Senza troppe analisi come soluzioni banali ho n=3,5,7.
Per le altre soluzioni... non mi sembra affatto facile da dimostrare... praticamente richiede un'analisi della densità dei primi in un dato intervallo :|
Forse ho interpretato male l'ipotesi dato che tu dici che non ci sono soluzioni :|

[julio14]

Con soluzione intendevo dimostrazione, soluzione in n certo che ne ha. Di immediato, c'è che non funziona per 1 e poi funziona da 2 a 8, il problema è che ne rimangono un altro po' in N...

[piever]

Attualmente la mia congettura è che, se k e n sono entrambi maggiori di uno, allora $ \pi(k)+\pi(n)\ge \pi(k+n) $

La mia seconda congettura è che esista una dimostrazione elementare di questo fatto. Oggi (per non pensare all'esame che ho domani) cerco di trovarla.

L'idea che pensavo di usare è questa:

congettura 3: Sia $ n>1 $ un intero positivo. Siano $ p_1,\dots ,p_a $ dei numeri primi distinti. Sia $ f(x,y) $ il numero dei numeri compresi tra x e y (estremi inclusi) che non sono divisibili per nessuno dei $ p_i $ Allora si ha che, per ogni intero k, $ f(1,n)+a-1\ge f(k+1,k+n) $

Qualche anima pia in grado di usare un computer può confermarmi/confutarmi la congettura?

[exodd]

$ f(1,n)+a-1\ge f(k+1,k+n) $

cos'è a?

[julio14]

Siano $ p_1,\dots ,p_a $ dei numeri primi distinti.

[giove]

Qualche anima pia in grado di usare un computer può confermarmi/confutarmi la congettura?

Dopo 28 minuti di intenso utilizzo della CPU il mio programma sostiene che la tua congettura sia vera per $ n,k < 1000000 $.
Sarebbe stato più divertente dirti che non funzionava per $ n = 347602, k = 23473 $ ma non sono così crudele

[piever]

Grazie Giove, è bello sapere che sono l'unico sul forum che non è in grado di programmare... Comunque anch'io ero molto fiducioso sulla verità della congettura (anche se forse era opportuno precisare $ n\neq 347602 $).
Mi sono reso conto che avere l'esame domani ha pesantemente alterato le mie facoltà cerebrali, e dopo qualche minuto che cercavo di dimostrare questa congettura, mi sono ritrovato a disegnare quadratini su un foglio di brutta e ho deciso che era il caso di fermarsi... Magari domani (_dopo_ l'esame) riprovo.

Comunque lascio come simpatico esercizio al lettore dimostrare che la congettura 3 implica che nel problema di julio14 tutti e solo gli n che non funzionano sono quelli della forma p-1

[kn]

Grazie Giove, è bello sapere che sono l'unico sul forum che non è in grado di programmare... Comunque anch'io ero molto fiducioso sulla verità della congettura (anche se forse era opportuno precisare $ n\neq 347602 $).
Mi sono reso conto che avere l'esame domani ha pesantemente alterato le mie facoltà cerebrali, e dopo qualche minuto che cercavo di dimostrare questa congettura, mi sono ritrovato a disegnare quadratini su un foglio di brutta e ho deciso che era il caso di fermarsi... Magari domani (_dopo_ l'esame) riprovo.

Comunque lascio come simpatico esercizio al lettore dimostrare che la congettura 3 implica che nel problema di julio14 tutti e solo gli n che non funzionano sono quelli della forma p-1

Ma con $ ~n = 2,4,6 $ funziona... o sono io che ho capito male?

[giove]

Grazie Giove, è bello sapere che sono l'unico sul forum che non è in grado di programmare... Comunque anch'io ero molto fiducioso sulla verità della congettura (anche se forse era opportuno precisare $ n\neq 347602 $).
Mi sono reso conto che avere l'esame domani ha pesantemente alterato le mie facoltà cerebrali, e dopo qualche minuto che cercavo di dimostrare questa congettura, mi sono ritrovato a disegnare quadratini su un foglio di brutta e ho deciso che era il caso di fermarsi... Magari domani (_dopo_ l'esame) riprovo.

Comunque lascio come simpatico esercizio al lettore dimostrare che la congettura 3 implica che nel problema di julio14 tutti e solo gli n che non funzionano sono quelli della forma p-1

Ma con $ ~n = 2,4,6 $ funziona... o sono io che ho capito male?

Sei tu che hai capito male... Scherzo, però diciamo che aggiungendo l'ipotesi $ k\ge n $ (che è molto ragionevole aggiungere) funziona anche per quei casi, che altrimenti falliscono ponendo k=1.

Tra l'altro, essendo in realtà io piever sotto mentite spoglie, volevo aggiungere che la congettura tre è allegramente falsa, il che rende il problema molto difficile da risolvere. Una strategia potrebbe essere fare a mano i casi con n e k minori di $ 100^{100} $ (morandin potrebbe farli in pochi minuti) e per i casi maggiori usare la stima con $ \frac{n}{\log n} $

Poi boh, un consiglio per il futuro è lasciar perdere i problemi di julio14...

[kn]

Dato che il problema intuitivamente chiede per quali $ \displaystyle~n $ i primi $ \displaystyle~\le n $ sono sempre più di quelli in un intervallo di $ \displaystyle~n $ numeri, anch'io supponevo $ \displaystyle~k\ge n $, dato che se $ \displaystyle~[1,n] $ e l'intervallo non sono disgiunti basta togliere la loro parte comune e ridursi a un $ \displaystyle~n $ minore (dimenticavo che però con 1 non funziona )

il che rende il problema molto difficile da risolvere

Allora ne propongo uno ancora più difficile:
(Usando la notazione di piever) Dimostrare che $ \displaystyle~\pi(n)\ge f(k+1,k+n),~\forall n,k\ge n $, con $ \displaystyle~\{p_i\}=\mathbb{P}\cap[1,n] $ (implica direttamente la soluzione di piever al problema di julio14)

(Purtroppo implica un caso particolare della congettura 3, quindi spero che non sia falsa quando lo è questa )

[julio14]

Il comico in tutto ciò è che questo problema è nato dalla mia testa come una cosa che mi sembrava di per sé ovvia che avrei dimostrato in un futuro non meglio precisato, e che usavo per dimostrare un problema di jordan (è in realtà lui l'origine e il fine di tutti i mali in $ $\mathbb{N} $)

[stefanos]

è in realtà lui l'origine e il fine di tutti i mali in $ $\mathbb{N} $

[giove]

Allora ne propongo uno ancora più difficile:
(Usando la notazione di piever) Dimostrare che $ \displaystyle~\pi(n)\ge f(k+1,k+n),~\forall n,k\ge n $, con $ \displaystyle~\{p_i\}=\mathbb{P}\cap[1,n] $ (implica direttamente la soluzione di piever al problema di julio14)

(Purtroppo implica un caso particolare della congettura 3, quindi spero che non sia falsa quando lo è questa )

Sono sempre io col nick di Giove. Era un mio approccio usare questa cosa che dici tu, solo che visto che la congettura 3 è fallita, temo che questa tua congettura, se sia vera, sia piuttosto difficile da dimostrare (cioè richieda qualche proprietà dei primi tra 1 e n, cose sulla loro distribuzione). Visto che ora sto da giove faremo un programmino per verificarla a breve (in genere queste cose mi sono impossibili...).

Sono d'accordo sul fatto che jordan è l'origine di tutti i mali...

[jordan]

..., e che usavo per dimostrare un problema di jordan (è in realtà lui l'origine e il fine di tutti i mali in $ $\mathbb{N} $)

..Sono d'accordo sul fatto che jordan è l'origine di tutti i mali...

Addirittura?