dubbio sul davenport

[Maioc92]

sto studiando il davenport (a dire il vero ho appena iniziato,sono al primo capitolo) e visto che in TdN sono ancora agli inizi non capisco un fatto che viene usato in 1 dimostrazione ma che il libro dà per scontato.Riporto la frase cosi com'è:
"sia x il minimo numero naturale per cui $ n-ax $ è divisibile per b. Siccome $ MCD(a;b)=1 $, un tale x esisterà e sarà tale che $ 0\le x\le (b-1) $", dove $ a,b,n\in\mathbb N $
Ovviamente la limitazione l'ho capita ma questo fatto come si dimostra?
Scusate se la domanda è idiota....

[julio14]

Ha semplicemente applicato il teorema di Bézout, che qua afferma l'esistenza dell'inverso di a modulo b. Qua c'è una dimostrazione di Bézout, ma non so se è esattamente quello che ti interessa. Se dai per buono Bézout, in notazione delle congruenze esso è equivalente (per il caso MCD=1) a dire che, dati due coprimi a e b, esiste c tale che $ $ac\equiv1\pmod{b} $, e tale c viene chiamato inverso di a. Nel tuo problema, indicando ancora con c l'inverso di a, se noi prendiamo il minimo x tale che $ $x\equiv cn\pmod{b} $ abbiamo che $ $ax\equiv acn\equiv n\pmod{b} $, che è la tesi.

[Maioc92]

direi che come spiegazione è perfetta, ora ho capito. In effetti Bézout lo conoscevo già, e quella dimostrazione aveva proprio a che fare con la condizione di risolubilità nei naturali invece che negli interi. Però per me la dimostrazione non era poi cosi scontata, anche perchè le congruenze le introduce solo nel capitolo 2 e senza quelle forse è difficile formalizzare il tutto.
Comunque grazie davvero!!!

[ledzep92]

curiosita.. che libro è quello su cui studi?

[Maioc92]

aritmetica superiore di harold davenport. Probabilmente è l'unico libro in italiano di TdN. Devo dire che personalmente mi sono trovato bene, anche se alcuni capitoli hanno poco a che fare con la TdN olimpica. L'unica pecca forse è che essendo un libro di teoria gli esercizi li devi cercare altrove perchè quelli a fine libro sono pochi e non tutti interessanti. A parte questo te lo consiglierei: io l'ho trovato in biblioteca e mi è stato molto utile

[ledzep92]

grazie! ci farò un pensierino..è difficile trovare testi che coprono in modo chiaro l'argomento.. Ah! da quello che ho capito ci vedremo a pisa!