Insiemi delle parti e cardinalità

[Anér]

Dati due insiemi X e Y, è vero o no che se P(X) e P(Y) hanno la stessa cardinalità allora anche X e Y hanno la stessa cardinalità?

Ed è vero o no che se X è infinito allora X^2 ha la stessa cardinalità di X?

[mitchan88]

Dati due insiemi X e Y, è vero o no che se P(X) e P(Y) hanno la stessa cardinalità allora anche X e Y hanno la stessa cardinalità?

E' indecidibile in ZFC...

Ed è vero o no che se X è infinito allora X^2 ha la stessa cardinalità di X?

E' equivalente all'assioma della scelta!

[Enrico Leon]

Beh, ma la prima proposizione dovrebbe essere vera, almeno nel caso finito... O no?

[edriv]

Siamo tutti d'accordo che nel caso finito è molto tranquilla.
Ti sta sostanzialmente chiedendo se 2^x è iniettiva...

[Enrico Leon]

Eh, infatti...

[Anér]

Grazie, soprattutto perché ho passato un bel po' di tempo a cercare di dimostrare, con scarsi risultati, la prima proposizione.
Non ho capito però perché X^2=X implica l'assioma della scelta, qualcuno saprebbe spiegarmelo (o almeno darmi un suggerimento)?