OliForum Matematico

Da una proposta di TG (*),
determinare il minimo di $ x^2(y+1)^2+(x+1)^2y^2+(x-1)^2(y-1)^2 $, con $ x,y\in\mathbb R $.

$ $~\square = x^2(y+1)^2 + (x+1)^2y^2 + (x-1)^2(y-1)^2 =$ $
$ $~= 3x^2y^2 + 1 + 2(x+y)(x+y-1).$ $
Wlog (?), $ $~a = x+y, b = xy$ $ (cosi` x, y -- che sono in un'espressione simmetrica, -- sono le due soluzioni dell'equazione $ $~x^2-ax+b=0$ $):
$ $~\square = 3b^2 + 1 + 2a(a-1);$ $ ora, $ $~b^2 \geq 0$ $, dunque $ $~\square \geq 1 + 2a(a-1)$ $. Dimostro che il minimo di questa espressione e` $ $~\frac{1}{2}$ $, cioe`
$ $~a(a-1) \geq -\frac{1}{4}$ $; il minimo dell'espressione si ha per $ $~a = \frac{1}{2}$ $, per il quale il LHS assume il valore di $ $~-\frac{1}{4}$ $. Dunque il minimo di $ $~\square$ $ e` $ $~\frac{1}{2}$ $, e lo si ottiene con $ $~y = 0, x = \frac{1}{2}$ $.

Ci sono errori? Il minimo e` per caso un altro?

$ ~\square $ e' simmetrica rispetto allo scambio di x con y, ergo o hai una soluzione del tipo $ ~x=y=\alpha $ o due soluzioni $ ~x=\alpha \; y=\beta $ e $ ~x=\beta\; y=\alpha $
inoltre $ ~\square\geq0 $ ergo come fa ad avere un minimo negativo?

infatti il minimo di $ \square $ che lui ha trovato è $ \frac 1 2 $ e la sua soluzione è simmetrica. Quella che ha minimo negativo è solo 1 parte della disuguaglianza

Domanda:come hai fatto a trovare il minimo di $ a(a-1) $? Perchè a me viene in mente di porre $ a^2-a\ge x $ dove x è il minimo e poi porre il delta uguale a 0

SkZ: mi sa che hai frainteso
Maioc: considera la parabola di equazione y=x(x-1). È concava i convessa? Dov'è il vertice?

stefanos ha scritto:Maioc: considera la parabola di equazione y=x(x-1). È concava i convessa? Dov'è il vertice?

ah ok Era giusto per avere presente anche il tuo metodo (che forse era anche il più furbo, ma in genere il primo modo che mi viene in mente per fare una cosa non è quasi mai il più furbo)

si frainteso un LHS

Ottimo, se non fosse che un'email misteriosa mi avvisa che forse il minimo non è quello ora vedo meglio

Il minimo È quello...