Importante: misura delle oscillazioni del pendolo

[alchimista89]

scusate ma il mio prof di laboratorio mi ha chiesto perchè abbiamo misurato proprio n oscillazione( n=20 nel nostro caso) e non un' altra quantità?? mi sembra che sia per diminuire l'errore relativo ma qualcuno me lo può spiegare un pò più formalmente???
grazie

[SkZ]

tolto che
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cmq, la misurazione di un tempo ha un certo errore $ ~\sigma_t $ a causa dello strumento e dei tempi di reazione. Se misuri 1 periodo l'errore sul periodo sara' appunto $ ~\sigma_t $, ma se ne misuri $ ~n $ sara' ovviamente $ ~\frac{\sigma_t}{n} $

allora perche' non misurarne 1000? o 2000? Tolto il tempo che occorre e non e' detto che ce l'hai a lab (e la non necessita' di una tale precisione), la c'e' una ragione fisica.
Ragiona: perche' 20 oscillazioni vanno bene e 100 oscillazioni non vanno bene?

[alchimista89]

non so perchè non 1000?? mmm forse perchè il moto del pendolo rallenterebbe e quindi l'errore di misura ne risulterebbe accentuato??

[SkZ]

esatto: a causa della frizione che rallenta il moto.
Il pendolo non e' esattamente periodico, dato che l'attrito lo rallenta costantemente. Mentre l'aumento di ampiezza accelera il pendolo nella fase 'discendente" e lo decelera nella fase "ascendente" (con contributo netto 0), l'attrito decelera sempre.
Ma il rallentamento e' lieve e per "poche" oscillazioni rimane abbastanza costante entro gli errori di misura.

Piu' oscillazioni migliorano l'errore di misura sulla singola oscilalzione, ma tante oscillazioni comportano che l'approssimazione di periodicita' salta.

pendolo semplice
$ $\ddot{x}+\omega^2 x=0 $
pendolo con attrito
$ $\ddot{x}+\eta \dot{x}+\omega_0^2 x=0=(\partial -a)(\partial-b)x $

ps: mi stanno venendo dei dubbi sulla riduzione del periodo. di certo e' che dopo un tot si ferma ergo non puoi continuare a misurare e misuri meglio quando il pendolo attraverso il punto piu' basso con velocita'

[pak-man]

Perdona la mia ignoranza...potresti spiegare il significato della notazione nelle due equazioni?

[SkZ]

si scusa, pensando alchimista89 universitario mi sono lasciato andare a notazioni con operatori.
allora partiamo dal semplice pendolo per capirci
$ $\ddot{x}+\omega^2 x=0=\frac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}t^2}+\omega^2x $
ora introduciamo (con piu' correttezza di scrittura) l'operatore differenziale $ ~D $ tale che
$ $D: f\to \frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}t} $
che e' lineare.
Allora abbiamo
$ $\ddot{x}+\omega^2 x=0=\frac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}t^2}+\omega^2x=D(D(x))+\omega^2x=(D+i\omega I)(D-i\omega I)x $
ove $ $I: f\to f $ operatore identita', ma spesso si tralascia nella scrittura

in generale abbiamo
$ ~(D-a)(D-b)f=D^2f-(a+b)Df+ab=f''-(a+b)f'+ab $

[pak-man]

Perfetto, grazie mille

[alchimista89]

mh certo certo mi sembra ragionevole, dunque meglio non esagerare con le oscillazioni!

[alchimista89]

ragazzi perfetto un bel 28..poteva andare meglio...poteva andare peggio...eh chi lo sa!