7 numeri in fila... (own)

[Enrico Leon]

Determinare 7 numeri consecutivi sapendo che:

1) Sono tutti di quattro cifre
2) Esattamente tre di essi sono primi
3) Nel primo, la somma della prima e della terza cifra diminuita della seconda dà 14
4) Il secondo è formato da cifre tutte diverse tra loro
5) Il prodotto delle cifre del quinto è un numero pari
6) La somma delle prime tre cifre del settimo è congrua a 2 modulo 3

Nota: Ovviamente non serve (e non bisogna usare!) una tavola dei numeri primi, basta ragionare e fare delle semplici considerazioni... Eventualmente alla fine per verificare la risposta... Ci ho pensato a lungo nel costruire questo problema, mi pare abbastanza carino...

[ndp15]

Determinare 7 numeri consecutivi sapendo che:

1) Sono tutti di quattro cifre
2) Esattamente tre di essi sono primi
3) Nel primo, la somma della prima e della terza cifra diminuita della seconda dà 14
4) Il secondo è formato da cifre tutte diverse tra loro
5) Il prodotto delle cifre del quinto è un numero pari
6) La somma delle prime tre cifre del settimo è congrua a 2 modulo 3

Nota: Ovviamente non serve (e non bisogna usare!) una tavola dei numeri primi, basta ragionare e fare delle semplici considerazioni... Eventualmente alla fine per verificare la risposta... Ci ho pensato a lungo nel costruire questo problema, mi pare abbastanza carino...

Trovati abbastanza velocemente (10 minuti al secondo "vero" tentativo). Mi chiedo: sono gli unici o mi tocca controllare anche tutti gli altri possibili casi?

[Enrico Leon]

C'è una e una sola soluzione!

[iademarco]

Determinare 7 numeri consecutivi sapendo che:
1) Sono tutti di quattro cifre
2) Esattamente tre di essi sono primi
3) Nel primo, la somma della prima e della terza cifra diminuita della seconda dà 14
4) Il secondo è formato da cifre tutte diverse tra loro
5) Il prodotto delle cifre del quinto è un numero pari
6) La somma delle prime tre cifre del settimo è congrua a 2 modulo 3

riguardo a questo,

basta ragionare e fare delle semplici considerazioni

non lo so se è proprio questo che intendevi, comunque io l'ho fatto così:
Per la 3, le prime tre cifre del primo numero possono essere:
1) 9-4-9
2) 9-3-8
3) 8-2-8
4) 9-2-7
5) 9-1-6
6) 9-0-5
7) 8-1-7
8 ) 8-0-6
9) 7-0-7
invertendo anche l'ordine della prima con la terza cifra.
Ora per il punto 4, escludiamo la 1 e la 9.

Per il punto 6, escludiamo la 3 e la 4.

Per il punto 2, escludiamo la 2, la 6 e la 8 per verifica diretta...basta escludere i numeri pari e quelli divisibili per 3, e già ci sono meno di 3 primi in 7 numeri consecutivi.

Per i punti 2 e 6 in contemporanea, il settimo numero del caso 7, deve essere per forza di cose 83, ma in questo modo il secondo numero sarebbe 8178, il che contraddice il punto 4.

Quindi non resta che il caso 5 da esaminare:
9161-9162-9163-9164-9165-9166-9167-9168-9169-9170-9171-9172-9173-9174-9175
i numeri primi potrebbero essere 9161-9163-9167-9169-9173
per il punto 2 i sette numeri consecutivi potrebbero essere:
1) 9161-9167
2) 9163-9169
3) 9167-9173
I casi 1 e 2 non vanno bene, perchè in contraddizione con il punto 6.
Il terzo caso non va bene, altrimenti il 5° numero sarebbe in contraddizione con il punto 5 (e finalmente serve sto punto 5!).

Resta quindi il caso in cui il primo numero inizi con 619-, dunque per il punto 2 i sette numeri sono 6197, 6198, ..., 6203

ho fatto qualche errore, ma ora sinceramente non mi va di ricontrollare, dato che ci ho messo quasi il triplo del tempo a srivere la risoluzione, che non a risolverlo

bonus question: avere la pazienza di leggere tutto sto macello, e cercare l'errore

[Enrico Leon]

Non è proprio così che intendevo la risoluzione, hai fatto un casino di conti e prove... E hai anche tralasciato qualche caso... C'è un ragionamento più elegante... Ti mando un MP.

[Thebear]

Nooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!! Avevo scritto tutta la soluzione (1 ora!!!) e mi si è cancellato tutto quando ho dato l'invio perchè mi era scaduto il login!!! Domani la riscrivo...

[Thebear]

1) Per il (2) la serie deve iniziare e finire con un dispari (veloci considerazioni sui multipli di 3)

2) 2 casi: o il secondo e il quinto sono multipli di 3, o lo sono il terzo e il sesto.

3) Per evitare che oltre ad un multiplo di 3 ce ne sia uno di 5 diverso da quello, possiamo scegliere solo serie che abbiano l’ultima cifra
I - $ 7 \rightarrow 3 $ o $ 1 \rightarrow 7 $ nel primo caso
II - $ 3 \rightarrow 9 $ o $ 7 \rightarrow 3 $ nel secondo.

4) Per il (3) se a, b, c, d sono le cifre del primo scriviamo: $ (abcd)_{10} \equiv a+c-b-d \equiv 14-d \equiv 3-d (mod 11) $ per cui escludiamo la prima possibilità del II (non vogliamo che il primo sia un multiplo di 11 per mantenere i 3 numeri primi)

5) Per il (6) escludiamo il caso in cui si va dall'1 al 7 perché altrimenti l'ultimo sarebbe un multiplo di 3. Concludiamo quindi che i numeri dovranno essere del tipo xyz7, xyz8, xyz9, xy(z+1)0, xy(z+1)1, xy(z+1)2, xy(z+1)3 (sono serie di cifre in base dieci). Quindi i multipli di 3 sono il secondo e il quinto.

6) Per il (3) abbiamo $ \displaystyle x+z-y \equiv 2 (mod 3) \Rightarrow x+y+z \equiv 2y+2 \Rightarrow (xyz8)_{10} \equiv 2y+2+8 \equiv 2y+1 (mod \ 3) \Rightarrow y \equiv 1 (mod \ 3) $
Quindi y può valere solo 1, 4, 7.

7) Tuttavia, per il (3) possiamo escludere y=7 poichè x+z non può fare 21 e per il (4) possiamo escludere anche y=4 poichè ciò richiederebbe x=z=9. Quindi è y=3.

9) Questo significa che x+z=17 per il (3). Quindi x=8 e z=9 o viceversa.

10) Resta da decidere se i numeri vanno da 8397 a 8403 oppure da 9387 a 9393.

11) Il secondo caso si esclude subito perché l'ultimo è divisibile per 3.

In realtà la tavola dei numeri primi che ho appena guardato per controllo, mi smentisce. Quindi chi ha voglia di cercarmi l'errore??

P.S.: in ogni caso, davvero un bel problema! Secondo me potrebbe essere un buon candidato per le gare a squadre di Cesenatico (risposta numerica di 4 cifre, un po' di tempo per risolverlo, ragionamenti più veloci se si è in 2 a lavorarci, ecc...)

[Enrico Leon]

Ecco la mia soluzione come l'ho pensata quando ho costruito il problema, in bianco, per chi vuole vederla:

Poiché tre numeri dispari consecutivi non possono essere tutti primi (a parte $ 3,5,7 $) perché uno di essi (e uno solo) è multiplo di $ 3 $, l'unica possibilità è avere, nei nostri sette numeri, quattro dispari e tre pari. In più, per lo stesso motivo, il primo e l'ultimo, oltre a essere dispari, devono essere entrambi primi.
Ora, usando i criteri di divisibilità per $ 3,5,11 $ combinati alle condizioni 3) e 6) si dimostra che il primo numero ha ultima cifra pari a $ 7 $.
Se il primo numero ha cifre $ abcd $ con $ d=7 $, chiediamoci ora quale valore può assumere $ b $. Dalla condizione 3) segue subito $ b\leq4 $. Inoltre non può essere $ b=0,2,3 $ altrimenti $ a+b+c\equiv0 $ oppure $ 2\pmod{3} $ e quindi si contraddirebbe la 6). Ma non può essere neanche $ b=4 $ altrimenti si forzerebbe il primo numero ad essere $ 9497 $ che contraddirebbe la 4). Quindi $ b=1 $.
Di conseguenza, ci sono solo quattro possibilità per il primo numero, cioè $ 7187,8177,9167,6197 $. Le condizioni 4) e 5) permettono di concludere che la serie cercata è $ 6197,\ldots,6203 $ ed in effetti i numeri $ 6197,6199,6203 $ sono primi.