Piccoli liceali

[Enrico Leon]

Due amici si sono iscritti alla prima classe di un liceo. Tale liceo ha due sezioni, le cui prime classi hanno rispettivamente $ x $ e $ y $ studenti, con $ x $ e $ y $ compresi fra $ 20 $ e $ 30 $. Sapendo che la probabilità che i due amici si trovino nella stessa classe è esattamente $ \frac{1}{2} $ si dica quanti sono gli studenti delle due classi.

[Thebear]

Ci sono due casi: o stanno tutti e due nella classe x oppure tutti e due nella classe y. Dobbiamo dunque risolvere $ \displaystyle \frac{x}{x+y}\cdot \frac{x-1}{x+y-1}+\frac{y}{x+y}\cdot \frac{y-1}{x+y-1}=\frac{1}{2} $ da cui con semplici passaggi algebrici si ottiene $ \displaystyle (x-y)^2=x+y $. Dato che il LHS è un quadrato perfetto lo dovrà essere anche il RHS e per i vincoli imposti per ipotesi su x e y potrà solo essere $ x+y=49 \ \wedge \ x-y=7 $ cioè $ x=28 \ \wedge \ y=21 $.